番外編 微分積分の問題を解く３

番外編　微分積分の問題を解く３

今日も、ネムネコがお絵描きソフトを使いこなせるようになるための練習として、大昔の大学入試で出た問題をもとにグラフなどを作成し、問題を解くことにするにゃ。

問題１　関数

　　

について、

（１）　f(x)の極小値が0となるように定数cの値を定めよ。

（２）　（１）で得られたcの値に対して、曲線y=f(x)、x軸およびy軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

c=0のときのグラフは次の通り。

これを見ると、x=πのあたりで極小になることが分かるよね。

（１）

　　

になる。

極値になるためにはf'(x)=0でなければならないから、x=0、π、2πが極小値の候補になる。

上のグラフの赤紫の曲線がこのf'(x)。

で、極小のとき、f'(x)の符号が−から＋に変わるので、この図からx=πが極小であることが分かるにゃ。

ということで、

　　

なお、極値の判定でf(x)の２階微分を使ってもいいにゃ。

　　

だから、x=πのときが極小であると判定できる。

ちなみに、
　　f'(a)=0、f''(a)<0のとき、x=aで極大
　　f'(a)=0、f''(a)>0のとき、x=aで極小

（２）
　　

この積分は真面目にやると結構大変なので、公式集を使うにゃ。

http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2015-03-30-3

に原始関数の表があるにゃ。

最後の２つの式に対してa=−1、b=1とすると、

　　

となることが分かる。

あるいは、

　　

になることを利用してもいい。

ということで、

　　

になる。

問題２　nを自然数として、

　　

とおく。

（１）　の極値、凹凸を調べてグラフの概形をかけ。

（２）　曲線とx軸で囲まれた部分の面積をとするとし、を求めよ。

【解】

お絵描きソフトでn=1、2、3、4についてのをかかせると、次のようになる。

このグラフからnが偶数、奇数のとき、曲線の凹凸がx≦0で違うことが分かるよね。

（１）

　　

ということで、

　　

で極大で、極大値は

　　

となる。

で、nが偶数のとき、x=0が極小値になる。

また、nが奇数（n>1）のとき、変曲点はx=0と。

nが偶数のとき、変曲点は。

ちなみに、f''(x)>0のとき凸、f''(x)<0のとき凹

（２）

　　

だから、
　　

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