番外編 循環小数の続き

番外編　循環小数

循環小数については数列と級数の第１９回で少しだけ触れておいただけなので、その続編です。

たとえば、0.333・・・という循環小数があるとする。

これは実は

　　

という無限級数の和のことで、

　　

のn→∞の極限値を意味する。

aを1≦a≦9の自然数とする。

そして、

　　

と定義することにする。

この極限値は簡単に求められて、

　　

となる。

ここでは、

　　

を使っているよ。

ということで、最初の例として出した0.3・・・は、a=3のときなので

　　

となる。同様に、

　　

となる。

そして、

　　

だケロ。0.999・・・というのは、１を循環小数の形式で表したものに過ぎない。だから、「0.999・・・と１は同じか違うのか」という問は、実は、まったくナンセンスというわけ。

もっとも、こんな難しい計算をしなくても、

　　

と安直に求めることもできるのだが・・・。

で、もっと拡張して、

　　

という循環小数を考える。

これは、

　　

となる。

だから、たとえば、0.517517517・・・という循環少数は

　　

ということになる。
ちなみに、a₁a₂a₃は数の並びで、a₁とa₂、a₃の掛け算ではないので、この点は注意してほしいニャ。

では、問題。

問題１　次の連立方程式を解け。

　　

【解】

　　

よって、

　　

また、

　　

となる。

　　

これを解くと、

　　

となる。

 

問題２
a、b、cは1<a<b<c<9となる整数で、

　　

は等比数列をなしている。

（１）　a、b、cの値を求めよ。

（２）　この等比数列の第四項を循環小数であらわせ。

【解】

（１）

　　

これが等比数列をなしているので、

　　

これを満たすa、b、cはa=2、b=4、c=8。

（２）

 　　

よって、第四項は

　　

ちなみに、（１）α、β、γが等比数列であるとき、公比をrとすると、

　　

になるということを使っている。

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