第６回 一次関数とそのグラフ

第６回　一次関数とそのグラフ

§一次関数

一次関数とは、２つの変数xとyの関係が

　　

で表される関数のこと。

上の式から明らかなように、b=0のときは、y=axとなり、yはxに比例する。

　　

と変形すれば、y−bがxに比例すると考えることもできる。

(x₁,y₁)、(x₂,y₂)という点がy=ax+bを満たすならば、

　　

となるので、③−②は

　　

となり、

　　

になる。

このことは、y=ax+bをグラフに描いた次のものを見ればよくわかると思う。

また、②にこの結果を代入すれば、

　　

これを①式に代入し整理すると、

　　

となる。

そして、これは、２点、(x₁,y₁)、(x₂,y₂)を通る直線の方程式と呼ばれるものだケロ。

④式は高校の数学の範囲になるので、中学数学に戻ることにするにゃ。

問題１　yはxの一次関数で、xの値が１増すごとにyの値は３ずつ増し、x=2のときy=−1である。この一次関数を求めよ。

【解】

この一次関数をy=ax+bとする。

このとき、

　　

だから、

　　

また、x=2のときy=−1なので、これをy=ax+bに代入すると、

　　

よって、y=3x−7

§一次関数のグラフ

一次関数y=ax+bのグラフは、直線y=axに平行で、点(0,b)を通る直線。

このaを直線の傾き、bをy切片という。

これも中学の範囲を逸脱するけれど、傾きがmで点(x₀,y₀)を通る直線の方程式は

　　

で与えられる。

上の式にx=x₀を代入すれば、y=y₀になるし、y=y₀を代入すれば、x=x₀になることから、これが条件を満たしていることは明らかでしょう。

ちなみに、２直線

　　

があるとき、m=m'ならば、この２直線は互いに平行であり、平行であるならばm=m'でならなければならない。

では、問題。

問題２　次の直線を求めよ。

（１）　y=−3x+1に平行で、点(3,2)を通る直線。

（２）　２点(1,2)、(3,8)を通る直線。

【解】

（１）　y=−3x+1と平行な直線なので、傾きは−3。

で、⑤を使うのならば、(x₀,y₀)=(3,2)なので

　　

使わないのならば、y=−3x+bとおき、これが(3,2)を通るので、x=3、y=2を代入し

　　

よって、求める直線はy=−3x+11

（２）　この直線の方程式をy=ax+bとする。

この直線は２点(1,2)、(3,8)を通るので、x=1、y=2、さらに、x=3、y=8を代入すると、

　　

となる。

代入法を使って上の連立方程式を解いてもいいけれど、②から①を引くとbが消えるので

　　

となる。

①と②のどちらにa=3を代入してもいいけれど、①の方が計算が楽なので①に代入し、

　　

よって、求める直線はy=3x−1となる。

④を使うならば、(x₁,y₁)=(1,2)、(x₂,y₂)=(3,8)として、

　　

と出てくる。

あるいは、傾きaは

　　

とすぐに出るから、y=3x+bとし、これが(1,2)を通過するので、x=1、y=2を代入する。

　　

と計算してもいい。

x=3、y=8のときは

　　

となる。

問題３

（１）　下の図の直線ABをの式を求めよ。



（２）　直線y=3x+bが線分ABの中点を通るようにbの値を定めよ。
【解】

（１）　図よりy切片は４。傾きは

　　

よって、y=−2x+4。

（２）　中点の座標は

　　

この点をy=3x+bが通るので、x=1、y=2を代入し、

　　

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