第８回 直線

第８回　直線

これまでやってきたことの復習と”まとめ”をかねて、中学数学の延長として高校数学の内容を少し含めて話をするにゃ。

１　直線の方程式

（１）　傾きa、y切片bの直線　y=ax+b

（２）　点(x₀,y₀)を通り、傾きaの直線　y−y₀=a(x−x₀)

（３）　２点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)を通る直線の方程式

 　　

（４）　x切片p、y切片qの直線の方程式

　　

（４）の式ははじめて出てきたと思うんで、これだけ、説明することにする。

x切片とは、直線とx軸（y=0）の交点のx座標のこと。だから、（４）の直線は２点(0,q)、(p,0)を通る直線。(x,y)=(0,q)、(x,y)=(p,0)を

　　

に代入すれば、左辺は1になるので、これがその直線の方程式であることが分かる。

論より証拠というわけで、次の図を見れば、このことが分かるにゃ。

２　２直線の位置関係

２直線y=mx+n、y=m'x+n'について

（１）　平行条件　m=m'　　　（さらに、n=n'ならば２直線は一致）

（２）　垂直条件　mm'=−1

ネムネコは、高校数学の教科書を持っていないので、教科書で（２）の垂直条件をどのように導いているかは知らない。だけれども、ベクトルを使うのならば、y=mx+nの方向ベクトル、y=m'x+n'の方向ベクトルになる。この２直線が垂直なので、この２つの方向ベクトルが垂直ということになり、ベクトルの内積を使うと、

　　

と簡単に出てくる。

中学レベルの知識を使ってこのことを示そうと思ったけれど、これは図に頼った証明になるのでやめるにゃ。mとm'が異符号であることを無前提に使っているから、こういう証明はちょっと危ないにゃ(^^)

問題１　次の直線の方程式を求めよ。

（１）　傾きが3で点(2,−4)を通る。

（２）　点(2,−5)を通りy軸に平行な直線。

（３）　２点(−5,3)、(2,−1)を結ぶ直線。

（４）　x切片が3、y切片が-4。

【答】

 

問題２　２直線y=2x+a+3、y=3x+2aが第２象限で交わるためのaの値の範囲を求めよ。

【解】

２直線y=2x+a+3、y=3x+2aの交点を求める。

　　

yを消去すると、

　　

よって、

　　

交点が第２象限（x<0、y>0）にあるので、

　　

よって、3<a<9

 

問題３　次の直線の方程式を求めよ。

（１）　点(−1,1)を通り、直線x+3y=0に平行な直線および垂直な直線。

（２）　２点(6,−2)、(−3,1)を結ぶ線分の垂直２等分線。

【解】

（１）

　　

よって、この直線に平行で点(−1,1)を通る直線は

　　

に垂直な直線の傾きをmとすると、

　　

よって、

　　

（２）　欲しいのは２点(6,−2)、(−3,1)を結ぶ直線の方程式ではなく、傾きだけだケロ。ということで、傾き求める。

　　

この線分に垂直な直線の傾きmとすると、

　　

垂直二等分線なので、(6,−2)、(−3,1)の中点を通る。

ということで、中点求める。

　　

よって、求める直線は

　　

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