第15回 2次関数の演習1 [ネコ騙し数学]
第15回 2次関数の演習1
2次関数の一般形は
で、
このことから、
となる。
頂点が(p,q)である2次関数は
で、これはy=ax²をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにq平行移動したもの。軸の方程式はx=pだケロ。
さらに、放物線がx=α、x=βでx軸と交わるとき、
である。
では、問題演習。
問題1 (1) 放物線y=2x²をx軸の方向に−2、y軸の方向に1だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めよ。
(2) 放物線y=2x²−5x+1を放物線y=2x²+5x+2に重ねるには、どのように移動させればよいか。【解】
(1) ③にa=2、p=−2、q=1を代入すると
(2) ②より、y=2x²−5x+1の頂点の位置は(5/4,−17/8)、y=2x²+5x+2の頂点の位置は(−5/4,−9/8)。
よって、x方向の移動量=−5/4−(5/4)=−5/2、y方向の移動量=−9/8−(−17/8)=1。問題2 軸がy軸に平行で次の条件を満たす放物線をあらわす2次関数を求めよ。
(1) 3点(1,3)、(3,5)、(−1,9)を通るもの(2) 頂点が(1,3)で、点(2,1)を通るもの
(3) 軸がx=−2で、2点(0,3)、(−1,0)を通るもの(4) x軸と(−1,0)、(2,0)で交わり、点(0,−3)を通るもの
(5) 2点(1,12)、(4,3)をとおり、x軸に接するもの【解】
ただの計算問題なので、ヒントと答えだけ(^^ゞ【ヒント】
(1) y=f(x)=ax²+bx+cとすると、f(1)=3、f(3)=5、f(−1)=9となる。これからa、b、cについての連立方程式が得られる。これを解けばいい。(2) 頂点が(1,3)なのだから、y=f(x)=a(x−1)²+3となり、これが点(2,1)を通るのだから、f(2)=1となり、aの値が求まる。
(3) 軸がx=−2なので、y=f(x)=a(x+2)²+qとなる。これが2点(0,3)、(−1,0)を通るものだから・・・。あるいは、y=ax²+bx+cとして、
この曲線が(0,3)を通るのでc=3となり、y=f(x)=ax²+bx+3となり、f(−1)=a−b+3=0・・・。
(4) x軸とx=α、βで交わるのだからy=a(x−α)(x−β)となる。だから、y=a(x+1)(x−2)で、これが(0,−3)を通るのだから・・・。
(5) x軸に接するのだから、その接点のx座標をpとすると、この放物線はy=a(x−p)²となる。あとは・・・【答】
(1) y=x²−3x+5 (2) y=−2x²+4x+1 (3) y=x²+4x+3
問題3 2次関数y=ax²+bx+cのグラフが(−1,−5)を通る。また、x=2のとき最大で、最大値は4であるという。a、b、cの値を求めよ。
【解】x=2のとき最大で、最大値が4であることより、
である。
これが、(−1,−5)を通るので、
②を使ってa、b、cを求めてもいいけれど、計算が大変だよ。
問題4 2x+y=1のとき、次の関数の最大値、または最小値を求めよ。
(1) xy (2) x²+y²【解】
2x+y=1より、y=1−2xとなる。(1) xyにy=1−2xを代入する。
よって、x=1/4のときxyの最小値は1/8。このときのyの値は
ということで、x=1/4、y=1/2のときに最小で、最小値は1/8である。
(2) x²+y²にy=1−2xを代入する。
よって、x=2/5のときに最小で、最小値は1/5。
この時のyの値を求めると、y=1/5になる。
ということで、x=2/5、y=1/5のとき最小で、最小値は1/5。(1)、(2)とも最大値はないにゃ。