中学数学 第３回 不等式

第３回　不等式

不等式の性質

（１）　aとbの大小関係は、a>b、a=b、a<bのうちのどれか一つが成立する。

（２）　a>b、b>cならばa>cである。

（３）　a>bならばa+c>b+cである（cは任意の実数）。

（４）　a>bのとき、c>0ならばac>bc、c<0ならばac<bc

これは数（実数）の公理みたいなものだから、何故、これは無条件で受け入れてもらわないと困るにゃ。

例題　a>b、c>dのとき、a+c>b+dであることを証明せよ。

【証明】

a>bならばa+c>b+c

c>dならばb+c>b+d

よって、

a+c>b+c、b+c>b+dならば、a+c>b+d

（証明終わり）

では、不等式の基本的性質に関する問題。

問題１　次のことは一般に成り立たない。成り立たない例（反例）をあげよ。
（１）　a>c、b>cならばab>c²

（２）　a>0、bは任意の実数のときab²>0

（３）　b/a>1ならばb>aである。

【解】

大体、こういう時は、マイナスの数の掛け算（割り算）が関係しているにゃ(^^)

ということで、

（１）　a=b=1、c=−2。

（3）　b=−2、a=−1

（２）　a=1、b=0

問題２　a+b>c、b+c>a、c+a<bのとき、a、b、cの間にはどの関係が成り立つか。

（１）　a>b>c　　（２）　b>c、a>c　　（３）　b>c、b>a

（４）　b>c>a　　（５）　b>a>c

【解】

成り立つのは（３）だけ。

a+b>c、b>c+aより、

　　

b+c>aとb>c+aより

　　

よって、（３）は成立する。

（３）以外が成り立たない反例として、a=c=0、b=1を上げればいいにゃ。

問題にはないのだけれど、

a+b>cとb+c>aより

　　

という関係が出てくるにゃ。

問題３　次の問を答えよ。

（１）　不等式2x−8>4x+5の解のうちで、最も大きい整数を求めよ。

（２）　ある数xの５倍から６を引いた数は、xの３倍に２加えた数より小さい。xはどんな範囲の数か。

【解】

（１）

　　

−6.5より小さい整数の最大の数は−７なので、答えは−７。

（２）　5x−6<3x+2

これを解くと、

　　

よって、答えはx<4

問題４

　　

を同時に満たす整数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。

【解】

　　

①より

　　

これを②に代入すると、

　　

①を解くと

　　

②を解くと

　　

よって、6<x<9。

これを満たす整数xは７、８。

x=7のとき

　　

x=8のとき

　　

よって、題意を満たす組み合わせは(8,5)。

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