第７回 番外編 お絵描きの練習２

第７回　番外編　お絵描きの練習２

中点連結定理

三角形ABCの辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとするとき、

 　　

である。

記号「||」は平行の意味。

証明は、ベクトルを使うと、次のようになるにゃ。

【証明】

　　

（証明終わり）

ちなみに、三角形AMNと三角形ABCは相似で相似比は1/2である。だから、面積は

　　

になる。

ここまではイントロ。

では、問題を解いてみることにするにゃ。

問題

図のように△ABCの確変の中点を結び、△A₁B₁C₁をつくり、次々にこの操作を行って△A₂B₂C₂、△A₃B₃C₃、……を作るとき、その面積をS₁、S₂、S₃、……とすれば、

（１）　△ABCの面積がSのとき、無限級数

　　

を求めよ。

（２）　△ABCの週をl、△A₁B₁C₁の周をl₁、△A₂B₂C₂の周をl₂、……とするとき、

　　

をlであらわせ。

【解】

（１）　△A₁B₁C₁の面積は△ABCの1/4だから

　　

（２）　△A₁B₁C₁は辺の長さがそれぞれ△ABCの各辺の長さの半分になっているのだから、△ABCとの周の長さには

　　

という関係がある。

よって、

　　

ここでは、等比数列の無限級数の公式

　　

を使っている。

（１）のときa=S/4、r=1/4で、（２）のときa=l/2、r=1/2。

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