第１６回 ２次関数の演習２ [ネコ騙し数学]
第１６回 ２次関数の演習２
これまで２次関数の定義域を実数全体としてきたけれど、定義域が実数の部分集合の場合についてやってみるにゃ。
一般論より問題を解く形で具体的な例をあげた後に説明したほうがわかりやすいと思うので、いきなり問題を解いてみるにゃ。問題１ 次の２次関数について、（ ）内で示した定義域における最大値と最小値を求めよ。
（１） ２次関数は、何も考えずに、基本変形するケロ。
次に、この放物線の概略図を書く。
そうすると、最大値がx=2のときで5、最小値がx=−3のときで、f(−3)=−20であることが分かる。
（２） まずは基本変形だケロ。
概略図を書く。
そうすると、x=−1のとき最小で最小値がf(−1)=1/2、最大がx=3のときで最大値が17/2であることが分かる。
（３） −1<x<1のとき、x²<1だから、｜x²−1｜=−(x²−1)=1−x²になる。
よって、x=−1/2のとき最大で、最大値は5/4。
この問題から分かるように、２次関数の最大・最小値の問題は、頂点と定義域の両端が重要なんだケロ。
あえて極論すると、、２次関数の場合、両端におけるyの値と頂点のyの値を比べるだけで、最大値と最小値は分かる(^^ゞ
頂点が定義域内にないとき、両端の値の大小だけで十分なんだにゃ。２次関数y=f(x)=a(x−p)²+qとし、この定義域をα≦x≦βとする。
で、α≦p≦βのとき、つまり、定義域内に放物線の軸x=pがあるとき、a>0ならばx=pのときqが最小値、
a<0ならばx=pのときqが最大値となる。
あとは、f(α)とf(β)の大小で判断する。そして、x=pが定義域に含まれないときは、f(α)とf(β)のうちで小さくないほうが最大値で、大きくないものが最小値だケロ。
２次関数の場合、これだけで判断してもいい。
なのですが、いい加減なものでいいから、とにかく、面倒臭がらずに概略図を書くことだにゃ。
問題２ xの２次関数f(x)=x²+2mx+2m+3がある。
（１） その最小値yはmのどんな関数になるか。
（２） （１）の関数yの最大値を求めよ。
【解】
（１） とにかく、何も考えずに、基本変形！！ 
（２） とにかく、基本変形！！
もう既に中学数学を逸脱しているのだけれど、中学では２次不等式を習わないから、２次関数や２次方程式の複雑な問題を解けないにゃ。
