第５回 比例・反比例

第５回　比例・反比例

§比例

比例

２つの変数、xとyの間に次のような関係があるとする。

　　

このとき、yはxに（正）比例するといい、定数aを比例定数という。

これはy=3xという関係があり、yはxに比例し、比例定数a=−3となる。

ちなみに、yがxに正比例し、x≠0ならば、

　　

になる。

aは、定数だから、当然、変化しない。もし、xとyの値によってaの値が変わるのならば、xとyは比例関係にないことになる。

y=axのグラフから明らかなように、a>0ならば右上がりの原点を通る直線となりa<0ならば右下がりの原点を通る直線となる。

問題１　yはxに比例し、x=3のときy=−6である。x=−4のとき、yの値はいくらか。

【解】

y=axとすると、x=3、y=−6なので、

　　

よって、x=−4のとき

　　

たぶん、こう解くのが模範解答なのでしょう(^^ゞ

【別解１】

x=−4のときのyの値をyとする。xとyは比例関係にあるので、

　　

【別解２】

小学校レベルの知識を使うならば、

　　

内項の積＝外項の積だから、

　　

どう解かなければならないということはないだろう。一番楽なのは別解１だと思うけれど、別解２で解いても構いやしない（笑）。

問題２　直線y=axが点A(1,2)と点B(3,1)を結ぶ線分ABを通るとき、aはどんな範囲の数か。

【解】

こういう時こそ、グラフの出番だケロ。

この図からほとんど明らかだけれど、aが最小の時は点B(3,1)を通るときで、aが最大の時はA(1,2)を通るとき。

点Bを通るとき、

　　

点Aを通るとき

　　

よって、

　　

§反比例

反比例

２つの変数、xとyに次の関係があるとき、yはxに反比例するという。

　　

上の関係からxy=a=一定となるにゃ。
グラフは次のようになる。

a>0のとき、y=a/xの曲線は第１象限、第３象限にあり、a<0のときy=a/xは第２象限、第４象限にある。また、この曲線は原点について対称である。

問題３　反比例をあらわすグラフが点(1.5,8)を通るとき、このグラフ上の点(x,y)で、x、yがともに整数である者はいくつかるか。

【解】

反比例なのだから

　　

よって、

　　

x>0で考えると、xとyが整数になるのはxが１２の約数のとき。だから、x={1,2,3,4,6,12}の６個。x<0の時も同様に６個あるので、１２個。

こんな問題ばかり解いていると⑨になりそうだにゃ(>_<)。

問題　x>0で定義された

　　

という曲線があるとする。この曲線上の点Pに接する接線とy軸との交点をA、x軸との交点をBとする。

このとき、

（１）　Pは線分ABの中点であることを示せ。

（２）　△OABの面積は点Pの位置によらず一定であることを示せ。

【解】

　　

とし、点Pのx座標をaとする。

接線の方程式は、

　　

だから、

　　

よって、点Aのy座標は

　　

点Bのx座標は

　　

（１）　線分ABの中点を求めると

　　

で、点Pである。

（２）　△OABの面積Sは

　　

よって、Pの位置にかかわらず一定値2kである。

この問題は、ひょっとしたら微分積分の時にやったかもしれないけれど、面白い性質なんじゃ〜あるまいか。
そして、こうしたことを面白い、何故だろうなんだろうと思う感性は大切なんじゃなかろうか。

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