番外編 お絵描きの練習３

番外編　お絵描きの練習３

問題１　直径ABの半円がある。この半円に図のように台形ABQPを内接させるとき、その台形の面積の最大値を求めよ。ただし、AB=2rとする。

【解】

直径ABの中点をOとし、次の図のように座標平面上に台形ABQPの各点をとることにする。台形の面積をSとすると、

　　

となる。

xとyには

　　

という関係があるので、

　　

よって、

　　

これを微分してもいいのだけれど、計算が少し面倒。それに、S>0なので、２乗しても大小の関係は変わらないので、計算を楽にするため、Sを２乗することにする。

　　

展開して計算をしてもいいけれど、できるだけ楽したいので、このまま微分する。

　――展開すると、因数分解の計算が面倒くさくなる――

　　

よって、f(x)は0<x<r/2で増加、r/2<x<rで減少し、x=r/2のとき最大となり、その最大値は

　　

よって、面積の最大値は

　　

いやいや、①のまま微分したほうが楽かもしれない。

　　

似たようなもんか・・・。

 

問題２　半径ｒの円Oの周上に定点Aと動点Pがある。Aにおける円Oの接線にPからおろした垂線の足をQとする。PがAに近づくときの極限値はそれぞれどうなるか。

【解】

∠AOP=θとする。このとき、

　　

よって、

　　

上の計算では、

　　

を使っているにゃ。

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