第１２回 二次方程式の判別式と解と係数の関係

第１２回　二次方程式の判別式と解と係数の関係

§　二次方程式の判別式

二次方程式

　　

の解は、

　　

である。

②より根号√の中が負になると二次方程式の解は複素数になるので、二次方程式①が実数解（実根）をもつためには

　　

がD≧0でなければならない。

また、判別式D=0のとき、二次方程式の解はただひとつで、その値は

　　

となる。

ということで、③で二次方程式の解を判別できる。この③をD=b²−4acのことを二次方程式の判別式という。

そして、この判別式を用いると、二次方程式①の解は次のように判別できる。

　　（ⅰ）　D>0⇔相異なる２実根

　　（ⅱ）　D=0⇔ 重根・重（複）解　（一つの実根・実数解）

　　（ⅲ）　D<0⇔ 相異なる２虚根

これを踏まえて、問題。

問題１　次の二次方程式の解の判別せよ。ただし、文字はすべて実数とする。

　　

【解】

（１）　a=2、b=−3、c=2として、判別式の値を計算する。

　　

よって、相異なる２虚根。

（２）　a=2、b=p、c=−2

　　

よって、相異なる２実根。

（３）　a=9、b=−12m、c=4m²

　　

よって、重根。

（３）は、

　　

判別式を使うまでもなく、重根であることは分かる。

問題２　方程式

　　

が重根をもつようにaの値を定めよ。

【解】

二次方程式の根が重根なので、判別式D=0である。

よって、

　　

§　二次方程式の解と係数の関係
二次方程式

　　

の解は

　　

になる。

二次方程式の解をα、βとし、

　　

とする。

このとき、

　　

となり、

　　

になる。

つまり、解と係数には次のような関係がある。

　　

この関係を、二次方程式の解と係数の関係という。

④は、こうやって導いてもいいケロ。

ax²−bx+c=0の解がx=α、βであるならば、

　　

この係数を比較すると、

　　

になるので、④になる。

では、問題を。

問題２　次の方程式の一つの根が−2であるとき、他の根およびaの値を求めよ。

　　

【解】

もうひとつの根をβとすると、解と係数の関係より

　　

になる。

よって、βは②より

　　

①よりaは

　　

もちろん、x=−2として、これを方程式に代入し

　　

として、

　　

を解いてもいい。

問題３　2x²+6−3=0の２根をα、βとするとき、次の値を求めよ。

　　

【解】

解と係数の関係より、

　　

（１）は(α+1)(β+1)を展開すると

　　

（２）は

　　

 

問題４　次の２数を根にもつ２次方程式を求めよ。

（１）　4,−3　　（２）　3±√2

【答】

（１）　x²−x−12=0　　（２）　x²−3x+7=0

（ヒント）２次方程式の２次の係数を１とし、解をα、βとすると、求めるべき方程式は

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