第１１回 合成公式

第１１回　合成公式

次の図のようなxy平面上の点があるとする。

このとき、

　　

が成立する。

このことは三角関数の定義より明らかでしょう。
上で定義した角度αを使うと、asinθ+bcosθは次のように変形できる。
　　

これを三角関数の合成公式という。

あらためて書くと、

　　

結構、間違えやすいので、これは次の図とセットで覚えてください。

そうでないと、aとb、どっちが分母で分子かで悩むことになる。

例１　sinθ+cosθは、a=b=1の場合で

　　

とすると、

　　

例２　3sinx+4cosx（0≦x<2π）の最大値、最小値を求めよ。

【解】

　　

よって、最小値は−5、最大値は5。

 

問題　x²+y²=1のとき、x+yの取りうる値の範囲を求めよ。

【解】

x=cosθ、y=sinθ（0≦θ<2π）とする。

　　

よって、

　　

ちなみに、x+yが最大になるとき、

　　

最小になるのは

　　

【別解】

シュワルツの不等式

　　

を使うケロ！！

　　

等号成立はx=yの時で、x=y=−√2/2の時に最小、x=y=√2/2の時に最大。

【別解２】

x+y=kとする。y=k−xをx²+y²=1に代入する。

　　

上の２次方程式を満たすxは実数でなければならないので、

　　

よって、−√2≦x+y≦√2

この他にも別解はいくつか作れますが、別解２は好きじゃない。これは自然な考え方ではないケロ。

x+y=kとし、これを直線の方程式とみなし、原点を中心とする半径1の円x²+y²=1との共有点を調べる図形的に解く方法もある。
次の図のように接する時に最大・最小になる。そして、y軸の赤い線で示した範囲がx²+y²=1のときx+y=kが取りうる範囲となる。

この解法は、もっと嫌いだ！！

問題２

　　

のグラフをかき、かつ最大値・最小値を求めよ。

【解】

　　

よって、最大値2（x=π/6）、最小値−1（x=5π/6）

問題３

　　

について、次の問いに答えよ。

（１）　t=sinx+cosxとおき、tの範囲を定めよ。

（２）　f(x)をtの式であらわせ。

（３）　f(x)の最小値とその時のxの値を求めよ。

【解】

（１）　−√2≦t≦√2

（２）　t=sinx+cosxを２乗する。

　　

よって、

　　

（３）

　　

よって、t=−1のとき最小で、−1が最小。
　　

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