番外編 微分積分 難しい問題（？）を解くネムネコ（暫定版）

番外編　微分積分　難しい問題（？）を解くネムネコ（暫定版）

問題　区間0≦x≦1における関数

　　

について、次の問いに答えよ。ただし、n≧3の自然数とする。

（１）　f(x)=0は、0<x<1において、ただ一つの解を持つことを証明せよ。

（２）　上の解をαとするとき、およびを求めよ。

（３）　与えられた区間における曲線y=f(x)と、x軸およびy軸とで囲まれた部分の面積をとするとき、を求めよ。

【解】

（１）

　　

で、かつ、f(x)は連続な関数なので、f(x)=0となるxが0<x<1に存在する。

また、

　　

となり、f(x)は単調減少関数。

よって、f(x)=0は0<x<1において、ただ一つの解を持つ。

（２）

　　

そして、0<α<1なので

　　

で、

　　

なので、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

（３）

　　

よって、

　　

（解答終わり）

とか、解けばいいんじゃないか。

ちったぁ〜、ネムネコのことを見直したケロか？

タグ：微分積分

番外編 相似と無限級数の応用問題

番外編　相似と無限級数の応用問題

いきなり、問題！！

問題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形に内接する正方形の辺の長さaを求めよ。

【解】

∠Bは共通。また、∠BC₁A₁=90°

△ABC∽△A₁BC₁

よって、
　　

（解答終わり）

このことから、△ABCと△A₁BC₁の相似比が3:2であることがわかるにゃ。

これでオシマイじゃ〜ない。

本題は、これからだにゃ。

本題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形内に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が際限なく並んでいる。

このとき、

　　

の値を求めよ。

【解】

問題から正方形S₁と正方形S₂の相似比が2/3であることがわかる。

だから、相似な図形の面積比は相似比の２乗だから

　　

である。

同様に、

　　

つまり、S₁、S₂、S₃、・・・という数列は初項S₁で公比4/9<1の等比級数。

よって、

　　

（解答終わり）

初項a、公比rの数列の一般項は

　　

で、

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