第１３回 問題演習２

第１３回　問題演習２

x軸と角度θをなし、原点Oを通過する直線があるとする。

tanの定義は

　　

だから、直線の傾きmが

　　

になる。

このことから、x軸と角度θをなす、点(x₀,y₀）を通る直線の方程式は

　　

になる。

このことを踏まえて、次の問題を解いてみることにする。

問題１　２直線y=mx+kとy=m'x+k'の作る角（はじめの直線からあとの直線の方へまわる角）をαとする。1+mm'=0のとき

　　

となることを証明せよ。

【解】

y=mx+k、y=m'x+k'に平行な原点を通る直線は

　　

上の直線とx軸とがなす角度をθ、θ'とすると

　　

直線y=mxからy=m'xへまわる角度αは

　　

となる。

よって、

　　

ちなみに、1+mm'=0という条件は

　　

だから、２直線が直交する条件。

また、このとき、①式の分母が０になるので、①式は意味を持たない。

問題２　２直線

　　

の交角を求めよ。

【解】

3x−y−2=0はy=3x+2だから、傾きm=3。そして、x−2y+5=0はy=x/2−5/2だから、の傾きm'=1/2。

よって、①より

　　

問題３　sin⁴θ+cos⁴θの最大値・最小値を求めよ。

【解】

sin²+cos²=1だからcos²θ=1−sin²θ。

さらに、u=sin²θとおくと

　　

になる。

u=sin²θだから、0≦u²≦1で

　　

の最大値・最小値を求める問題に帰着できる。

よって、

u=1/2のとき、f(u)は最小で最小値は1/2。

u=0、1のとき、f(u)は最大で最大値はf(0)=f(1)=1。

類題

（１）　sin⁶θ+cos⁶θの最大値・最小値を求めよ。

（２）　sin⁸θ+cos⁸θの最大値・最小値を求めよ。

【答】

（１）　最小値1/4　最大値1

（２）　最小値1/8　最大値1

の最小値には、規則性がありそうな、なさそうな・・・。

 

問題４

　　

の解xが存在するための範囲を求めよ。

【解】

　　

ということで、

　　

−1≦sin(x+α)≦1だから

　　

２乗すると

　　

【別解１】

sinx=u、cosx=vとし

　　

の共有点を調べる。①は原点を中心とする半径１の円なので、①と②が共有点をもつためには、原点から②の距離が１以下でなければならない。

よって、

あとは・・・。

あるいは、②より

　　

となり、これを①に代入すると

　　

となる。vは実数でなければならないので、

　　

となる。

三角関数の合成公式を使う方法が一番自然な解法なのでしょうけれど・・・。

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