第１２回 三角関数の積和・和積の公式

第１２回　三角関数の積和・和積の公式

§１　三角関数の積和の公式

三角関数の加法定理より正弦関数については次の関係が成り立つ。
　　

よって、①＋②は

　　

①−②は

　　

よって、

　　

正弦関数と余弦関数の積を正弦関数の和に変えた。

こういうのを、三角関数の積和公式とかいうにゃ。

同様に、余弦関数に関する加法定理は

　　

なので、③＋④、③−④を計算すると、
　　

以上の結果をまとめると

　　

上の式は、積分の計算、たとえば

　　

などの計算に使うために必要なもので、mとnが自然数でm≠nのとき

　　

であることが分かる。

非常に重要な公式であるのだけれど、私は覚えていない(^^ゞ

こんな式は、加法定理からすぐに導ける。覚える必要はないケロ。

さらにいうならば、加法定理も

　　

だけを覚え、あとは、sin(−θ)=−sinθ、cos(−θ)=cosθを覚えておけば、その場ですぐに導くことができる。

§２　三角関数の和積の公式

三角関数の積和の公式を導く前、たとえば、

　　

なども見て欲しいにゃ。

A=α+β、B=α−βとすると、

　　

となることが分かる。

　　

をα、βについて解けば、

　　

になるので、

　　

同様に、

　　

また、

　　

なので、

　　

そして、

　　

になるので、

　　

となる。

結果をまとめると、

　　

三角関数の和・差から三角関数の積に直すので、和積の公式とか呼んでいるケロ。

上の２番目、４番目の公式は、正弦関数と余弦関数の微分のところで使った。

バズル的な問題を・・・。

問題１　△ABCで

　　

であることが証明せよ。

【解】

　　
C=π−(A+B)だから

　　

よって、

　　

ゆえに、

　　

問題２　α+β+γ=πのとき

　　

【解】

加法定理より

　　

よって、

　　

また、α+β=π−γ

　　

これを①に代入すると、
　　

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