第15回 問題演習3 [ネコ騙し数学]
第15回 問題演習3
問題1
(1) 最小角の余弦を求めよ。
(2) 3辺の長さを求めよ。(1) 三角形の面積をSとすると
よって、最小角は、余弦定理より
(2)
(1)の結果よりS=6k。
よってしたがって、
問題2
△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qをとり、線分PQをひいて△ABCの面積を2等分する。このような線分PQの長さの最小値を、辺ABの長さをc、辺ACの長さb、∠Aの大きさをαを用いてあらわせ。ただし、b/2≦c≦2bとする。x=AP、y=AQとする。
条件より、
余弦定理より
相加平均≧相乗平均より
①より、等号が成立するとき
だからと言って、こんなxとyが存在するとは限らないにゃ。b、cの値によって、xはcより大きく、yはbより大きくなったりするからだにゃ。
PはAP上に存在しなければならないので、x≦c同様に、y≦bなので
ここから、b/2≦c≦2bという条件が出てくるというわけ。
よって
したがって、
のとき、PQは最小で最小値は
(解、終わり)
b=3、c=1のとき
となって、PはABの延長線上にあることになってしまう(^^)
じゃ〜、このとき、PQに最小値は存在するのか。
∠A=α=90°とすると、そして、
よって、
だから、
微分してもいいけれど、グラフを書くと、次のようになるにゃ。
このとき、PはB、QはACの中点になる。
だから、PQにはの最小値は存在する。
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