微分方程式の応用１

微分方程式の応用１

問題１　曲線上の１点Pにおけるその接線がx軸と交わる点をTとするとき、線分PTがいつもy軸によって２等分されるという。この曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)、Pにおける接線上の点を（X,Y)とすると、接線の方程式は

　　

この接線とx軸との交点Tの座標(X,0)を求めると

　　

y軸は線分PTを２等分するので、線分PTの中点Mのx座標は0。

すなわち、

　　

①と②より

　　

これを解くと

　　

したがって、曲線は原点を頂点とし、x軸を軸とする放物線である。

（解答終了）

 

問題２　曲線上の１点Pからx軸、y軸におろした垂線の足をQ、Rとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　Pにおける接線がいつも直線QRと平行になっている曲線を求めよ。

（２）　Pにおける接線がいつも直線QRと垂直になっている曲線を求めよ。

（３）　Pにおける接線と直線QRとの交点をSとするとき、Sがy軸に平行な一定直線x=aの上にある曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)とする。

（１）　Qの座標は(x,0)、Rの座標は(0,y)だから直線QRの傾きは

　　

直線QRと点Pにおける接線が平行だから、直線QRと接線の傾きは等しい。

すなわち、

（２）　点Pにおける曲線の接線と直線QRが垂直だから、接線の傾きと直線QRの傾きの積は−1である。

すなわち、

　　

（３）　点Pにおける曲線の接線の方程式は、とすると、

　　

また、直線QRの方程式は

　　

交点SではX=aだから

　　

Yを消去すると

　　

よって、
　　

（解答終了）

問題３　次の曲線群のすべてと直角に交わるような曲線の方程式を求めよ。

（１）　y²=4px　　（pは任意定数でp≠0）

（２）　xy=a　　　（aは任意定数でa≠0）

【解】

（１）　
y²=4pxをxで微分すると

　　

両辺にxをかけると

　　

xy≠0とすると、

　　

P(x,y)でy²=4pxと直角に交わる曲線の傾きをとすると、

　　

この微分方程式を解くと、

　　

xy=0のとき、y²=4pxの接線はy軸だから、これに直交する曲線はx軸、すなわち、y=0。

よって、求める曲線は、

　　

または、y=0である。

（２）　xy=aをxで微分すると

　　

P(x,y)でxy=aと直交する曲線の傾きをとすると、

　　

これを解くと、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

難しい微分方程式の解法

難しい微分方程式の解法

次の微分方程式があるとする。

　　

高校の微分積分の枠内でこれを解くことはできないけれど、実はこの微分方程式の一般解を求めることはそれほど難しくない。

①の両辺に

　　

をかけると
　　

と、①の一般解を求めることができる。

このことを念頭に置き、次の問題を解くことにする。

問題１

（１）　微分可能な任意の関数f(x)に対して

　　

を満たすg(x)でg(0)=1であるものを求めよ。

（２）　次の微分方程式の解で、f(0)=1になるものを求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

条件より、

　　

任意のf(x)について①が成り立つので、

　　

②を解くと

　　

g(0)=1だからC=1。

よって、

　　

（２）　（１）で求めたを微分方程式にかけると

　　

f(0)=1だから、

　　

（解答終了）

 

念のために、が微分方程式の解であるか確かめてみると、

　　

となる。

また、問題１の（２）は、先に紹介した微分方程式

　　

のP(x)=1、Q=x+1とおいた特殊なものである。
ちなみに、

　　

問題２

微分方程式

　　

の一般解は

　　

であることを証明せよ。ただし、A、αは任意の定数とする。

【解】

　　

とおくと、

　　

よって、

　　

は

　　

と書き換えられる。

　　

u²≧0だから、C≧0

　　

とおくと、

　　

したがって
　　

ここで、

　　

とおくと

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

微分方程式の解法３

微分方程式の解法３

§１　定数係数の２階線形微分方程式の解法

高校の微分積分では、定数係数の２階微分方程式

　　

の解法を扱わない。

ではあるが、結論を先取りして言うならば、①の解は、２次方程式――特性方程式という――

　　

の相異なる実根をα、βとするとき、

　　

になる。

このことは知っておいて損はないだろう。

③が①の解になることは、

　　

とおくと、

　　

この結果を①に代入すると

　　

となり、αが２次方程式の解であることより

　　

したがって、これは微分方程式の①の解である。

同様に、も解であり、

このことから

　　

は①の解であることが証明できる。

また、逆に①がという形の解をもつとすれば、

　　

でなければならない。

粗い議論であるが、２次方程式①が相異なる②実根α、βをもつとき、微分方程式①の解が③になることを理解できるのではないか。

１階の微分方程式

　　

の一般解が

　　

であることは、

　　

として、④を解くことによって確かめられる。

そして、この場合も一次方程式

　　

を解くことによって、微分方程式の一般解を簡単に求められる。

しかし、この結果は高校の数学の範囲を超えているので、高校の微分積分ではこの解法を採用しないことにする。ではあるが、この議論は、微分方程式の解の確認に使えるので、知ったおいて損はないと思う。

問　次の微分方程式の解を求めよ。

【解】

（１）　特性方程式を解くと

　　

よって、一般解は

　　

（２）　特性方程式

　　

よって、一般解は

　　

（解答終了）

 

§２　連立微分方程式の解法

問題１　f'(x)=g(x)、g'(x)=f(x)、f(0)=1、g(0)=0を満たすような関数f(x)、g(x)を求めよ。

f(x)=y、g(x)=zとおくと、

　　

zを消去するために、①をxで微分すると

　　

yの一般解は問の（２）より

　　

この結果を①、②のどちらに代入してzを求めても良いが、積分の計算よりも微分の計算の楽なので①を使うことにする。

　　

①、②、ならびに、初期条件f(0)=1、g(0)=0より
　　

したがって、

　　

（解答終了）

このように解くことができるけれど、これは高校数学の範囲がの解法なので、この問題は次のように解くとよい。

【解】

　　

①＋②
　　

u=f(x)+g(x)とおくと

　　

①−②

v=f(x)−g(x)とおくと

　　

よって、

　　

③と④、さらに、初期条件f(0)=1、g(0)=0より

　　

よって、

　　

⑤＋⑥
　　

⑤−⑥

　　

（解答終了）

問題２　平面上を運動するP(x,y)の両軸方向の速度について

　　

の関係があるとき、Pはどのような曲線上を動くか。

【解】
　　

（解答終了）

この連立微分方程式の解を求められないことはないのだけれど、これは高校の微分積分の範囲を大きく逸脱してしまうので、これ以上は解かないことにする。

タグ：微分積分

微分方程式の解法２

微分方程式の解法２

§１　同次形微分方程式の解法

高校の微分積分の範囲外なのだけれど、同次形の微分方程式の解法を紹介することにする。

１階の同次形の微分方程式の基本形は

　　

である。

y=uxとおくと、

　　

したがって、①の微分方程式は

　　

になる。

 

問題１　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

y=uxとおくと

　　

（１）　両辺をxで割ると

　　

したがって
　　

よって、解は

　　

（２）

　　

両辺をx²で割ると
　　

u=y/xだから、

　　

両辺にxをかけて

　　

（解答終了）

 

§２　積分を含む関数方程式の解法

F'(x)=f(x)とすると、定積分は

　　

になる。

したがって

　　

つまり、

　　

である。

 

問題２　次の条件を満たす微分可能なf(x)を求めよ。

　　

【解】

（１）　両辺をxで微分すると

　　

y=f(x)とおくと

　　

これを解くと

　　

また、

　　

よって、

　　

（２）　両辺をxで微分すると

　　

y=f(x)とおくと
　　

また、

　　

よって、

　　

（解答終了）

問題２の場合、微分方程式に初期条件を与えられることに注意。

タグ：微分積分

微分方程式の解法１

微分方程式の解法１

高校の微分積分で扱う微分方程式の解法は次の２タイプ。

タイプ１　直接積分形

　　

タイプ２　変数分離形

　　

この２つのタイプのいずれか。

タイプ１は次のように変数分離法を用いて微分方程式の解を求めることができる。

　　

問題１　次の微分方程式を解け。

　　

【解】

（１）

　　　　

（２）

　　

部分積分法を使って

　　

②の右辺第２項に対して再び部分積分法を用いて

　　

　――（註）　積分定数は省略してある――

したがって、②は

　　

この結果を①に用いると

　　

（解答終了）

直接積分するのではなく、たとえば、（１）の場合、

　　

と、変数分離法を用いて解いてもよい。

 

問題２　変数分離法を用いて、次の微分方程式を解け。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（３）

　　

（解答終了）

問題３　次の微分方程式で（）内の初期条件を満たす解を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

x=0のときy=2だからC=2。

よって、

　　

（２）

　　

x=1のときy=3だからC=2。

よって、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

微分方程式２

微分方程式２

問題１　周期が一定の単振動の方程式

　　

から任意定数r、αを消去して、この単振動の満たす方程式を作れ。

【解】

　　

をtで微分すると、

　　

（解答終わり）

問題２　ある物体が大気中で冷却する速さは、その物体の温度と気温の差に比例するという（ニュートンの冷却法則）。

比例定数をk（k>0）として、物体が冷却する微分方程式を作れ。ただし、気温はa℃とする。

【解】

時刻tにおける物体の温度をx、時刻t+Δtにおける温度をx+Δxとする。

この間に冷えた温度は

　　

したがって、冷却の速さは

　　

これが、物体と気温との温度差に比例するので

　　

（解答終わり）

この微分方程式の解は、変数分離法を用いて次のように解くことができる。

　　

t=0のときの物体の温度をx₀とすると――初期条件――、①より

　　

①が一般解、t=0のときx₀が初期条件、そして②が特殊解（特別解）である。

この微分方程式は物体の冷却という現象だけではなく、たとえば、放射性物質の崩壊、コンデンサーの放電など、自然界では広く成立する微分方程式である。

問題３　曲線y=f(x)は第１象限にあって、この曲線上の任意の点Pにおける接線は、つねにx軸、y軸の両方と交わり、その交点をそれぞれQ、Rとすれば、接点Pは線分QRを2:1に内分するという。

（１）　この曲線の満たす微分方程式を求めよ。

（２）　このような曲線のうち、点(1,1)を通るものを求めよ。

【解】

（１）　点P(x,y)における接線の方程式は、(X,Y)を接線上の点の座標とすると、

　　

この接線とx軸との交点Qのx座標は、①にY=0を代入し

　　

Pからx軸におろした垂線の足をHとすると

　　

（２）　②より

　　

この曲線は(1,1)を通るのでC'=1。

よって、

　　

（解答終わり）

微分方程式

微分方程式

§１　微分方程式の定義

変数x、その関数y、yの導関数を含む方程式を微分方程式という。

与えられた微分方程式を満たす関数を微分方程式の解といい、解を求めることを微分方程式を解くという。

微分方程式がn次の導関数を含み、それよりも次数の高い導関数を含まないときn階の微分方程式という。

一般にn階の微分方程式はn個の任意定数を含む解をもち、階数と同数の任意定数を含む解を一般解といい、一般解の任意定数に特別の値を与えたものを特殊解（特別解）という。特殊解でない解を特異解という。

例　y'=yは一階の微分方程式、y''+y=0は２階の微分方程式。はy''+y=0の一般解であり、は特殊解である。

はの一般解であり、は特異解である。

§２　微分方程式の作り方

問題１　（１）、（２）の曲線の方程式から任意定数aを消去して微分方程式を作り、微分方程式は方程式のあらわす曲線のどのような性質をあらわしているか答えよ。

　　

【解】

（１）　x²+y²=a²をxで微分すると

　　

x=0のとき、両辺を2xで割ると

　　

円周上の点Pの座標を(x,y)とすると、y/xは直線OPの傾き、dy/dxは点Pにおける円の接線の傾き。

したがって、原点Oと円周上の１点Pを結ぶ直線OPとPにおける円の接線は垂直である。

（２）　y²=4axをxで微分すると

　　

両辺にxをかけると
　　

放物線y²=4ax上の点Pの座標を(x,y)とする。

Pからx軸に下ろした垂線の足をH、放物線のPにおける接線とx軸との交点をTとする。

接線の傾き=PH/TH

　　

よって、TH=2x。

また、OH=xだから、TH=2OHとなり、原点OはTHの中点である。

よって、放物線y²=4axの頂点はTHの中点である。

（解答終わり）

少し危険だけれど、（２）の別解（？）として次のものをあげておく。

【別解１】

　　

①をxで微分すると

　　

①より

　　

これを②に代入すると、

　　

（別解１終わり）

【別解２】

　　

この両辺をxで微分すると
　　

（別解２終わり）

ちなみに、

　　

問題２　x軸に中心を有する半径１の円群に共通な性質をあらわす微分方程式を作れ。

【解】

円の中心を(a,0)とすると、半径１の円の方程式は

　　

両辺をxで微分すると

　　

これを①に代入すると

　　

（解答終わり）

y=±1は、問題２の微分方程式を満足するので、この微分方程式の解である。しかし、②の一般解である①の形であらわすことができない。このような解を特異解という。

問題３　方程式

　　

から任意定数a、bを消去して、微分方程式を作れ。

【解】

　　

方程式をxで微分すると

　　

さらに、xで微分すると

　　

だから、y''≠0。

よって

　　

②に代入し

　　

これらを①に代入すると、
　　

（解答おわり）

問題２の結果をrについて解くと

　　

この右辺は曲率半径だから、円は曲率半径、曲率が一定の曲線である。

タグ：微分積分

部分積分

部分積分

f(x)、g(x)を微分可能な関数とすると、

　　

この両辺を積分すると
　　

これを部分積分の公式という。

例１

　　

f(x)=x、g'(x)=sinxと考えると、

　　

よって、
　　

①において、特にg(x)=xのとき

　　

例２

　　

問題１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　f(x)=x、g'(x)=cosxと考えると、f'(x)=1、g(x)=sinx。

よって、

　　

（２）　と考えると、

よって、

　　

（３）　f(x)=logx、g'(x)=xと考えると、

　　

よって、

　　

（４）　f(x)=logx、g'(x)=1/xと考えると、f'(x)=1/x、g(x)=logx。

よって、

　　

これに積分定数を付けて

　　

（５）　f(x)=(logx)²、g'(x)=1と考えると、

よって、

　　

（解答終わり）

（４）については、置換積分を用いて、次のように解くこともできる。

【別解】

t=logxとおくと

　　

よって、

　　

（別解終了）

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とすると、

よって、

　　

については、と考えて

　　

①に代入すると、

　　

積分定数を追加して

　　

（解答おわり）

①と②より

　　

と連立方程式が得られ、これを解くと

　　

タグ：微分積分

置換積分４ 三角関数を含む置換積分

置換積分４　三角関数を含む置換積分

§１　三角関数を含む置換積分の基本

のタイプは、sinx=tとおくと、cosxdx=dtだから

　　

のタイプは、cosx=tとおくと、−sinxdx=dtだから

　　

になる。

 

問題１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）

　　

だから、

　　

となり、②のタイプ。

したがって、cosx=tとおくと、−sinxdx=dt

　　

（２）

　　

だから、

　　

とおくと、②のタイプ。

したがって、cosx=t、−sinxdx=dt

　　

（３）

　　

だから、

　　

とおくと、②のタイプになる。

したがって、cosx=tとおくと、−sinxdx=dt

　　

（解答終わり）

（２）については、３倍角の公式

　　

を用いて、

　　

として計算してもよい。

 

§２　一般的な方法

　　
ではなく、より一般的な

　　

のタイプの積分は、

　　

とおくと、
　　

から

　　

したがって、

　　

となる。

以上のことをまとめると、

　　

として、これを代入すると

　　

この方法を用いれば、§1で示した三角関数の積分はもちろん、より一般的で複雑な積分も行なうことができる。

例　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とおくと

　　

したがって

　　

（解答終わり）

この結果は、

　　

と異なるのではないか？

いえいえ、この２つは同じものです。

⑨を次のように変形すれば、同じものであることが分かる。

　　

問題２　上記の方法を用いて、次の不定積分を求めよ。

【解】

tan(x/2)=tとおくと

　　

したがって

　　

（解答終わり）

問題１の（３）と見た目は違いますが、この両者は同じものです。

同じものであることを確かめるように。

§２の方法は、どうしても不定積分が求まらないときの最終手段ともいうべき方法なので、安易に使わないほうがいい。

一般的に、この方法を用いると計算が複雑になるだけではなく、見た目の違う結果が得られて、同じものかどうか判断しにく、混乱してしまう。

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置換積分３

置換積分３

置換積分には、このタイプの積分には、このように変数を変換せよ、というものがあるので、その代表的なものを紹介することにする。

タイプ１　を含む積分

このタイプは

　　

とおき、

　　

と計算する。

 

問題１　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とおくと

　　

よって

　　

（解答終了）

タイプ２　を含む積分

このタイプはx=asinθとおくと
　　

になる。

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

x=asinθとおくと

　　

また、x=asinθだから、−π/2≦θ≦π/2とすると、

　　

だから、

　　

（解答終了）

　　

を使うならば、

　　

おまけとして

問題３　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

x=atanθとおくと

　　

したがって、

　　

そして、

　　

とすると、

　　

よって、

　　

（解答おわり）

 

タイプ３　を含む積分

とおくと

　　

さらに、

　　

そして、さらに

　　

を使う。

 

問題４　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

　　

（解答終わり）

タイプ３の不定積分は、高校数学の範囲を逸脱しているので、おぼえる必要はないが、この方法を知らないと、このタイプの不定積分を求めることは極めて難しい。

こういうアクロバティックな変数の変換法があることを十分だと思う。
ただ、タイプ２の置換積分は、定積分で何度も登場するので、これだけはおぼえて欲しい。

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