第１１回 ２次方程式と解の公式

第１１回　２次方程式と解の公式

二次方程式の話をする前に、次のことを確認しておくにゃ。

 　　

また、

　　

そして、最後に因数分解の次の公式。

　　

§　二次方程式

２次方程式とは２次の多項式で表される方程式のことで、そのの一般形は次のようになる。

　　

この２次方程式をどうやって解くかというと、先に述べて３つの知識を使って、式を変形して解を求める。

たとえば、

　　

であったら、

　　

といった具合に解く。

あるいは、４を右辺から左辺に移項し、

　　

と解く。最初に上げたように、(x+2)(x−2)=0ならば「x+2=0」または「x−2=0」となり、「x=−2」または「x=2」となり、これがこの二次方程式の解になる。

例１　次の二次方程式を解け。

　　

【解１　因数分解して解を求める】

　　

【解２　平方完成をして解を求める】

x²−3x+2=0を平方完成する。

　　

よって、

　　

例１のように因数分解が簡単にできる場合は、例１を見れば分かるように因数分解をして二次方程式を解いたほうが楽。しかし、次の例のように簡単に因数分解ができない場合がある。

例２　次の方程式を解け。

　　

【解】

【因数分解による解法】

足して２になる、つまり、a+b=2で、掛けて−1になる、つまりab=−1になるaとbは何だろう(・・?

因数分解を利用した解法だと、ここで行き詰まってしまう(^^ゞ

【平方完成による解法】

　　

例２を見れば分かるように、【平方完成による解法」の方が利用範囲は広い。だけど、いちいち、平方完成するのは面倒くさい。

ということで、公式を作るにゃ。

§　解の公式

二次方程式の一般形は

　　

これを平方完成の手法を用いて解くことにするにゃ。
　　

ということで、

　　

この最後の式が、二次方程式の解の公式と呼ばれるもの。
　　

そして、この解の公式を覚えておけば、いかなる二次方程式の解も求めることができる。

例２の場合、a=1、b=−2、c=1だから

　　

と求めることができる。

ちなみに、

　　

問題１　次の二次方程式を解け。

（１）　x²−4x+3=0

（２）　x²-4x+1=0

【解】

（１）　これは簡単に因数分解できるので、因数分解して解く。

　　

（２）　これは簡単に因数分解できないので、解の公式（または、その大本の平方完成）を使って解く。

x²-4x+1=0だから、a=1、b=−4、c=1として、解の公式を使う。

　　

問題２　xについての二次方程式

　　

の解のひとつが1であるとき、aの値ともうひとつの解を求めよ。

【解】

x=1が①の解なので、x=1を①に代入すると、

　　

a=−3のとき、①にこれを代入すると、

　　

となり、もうひとつの解は−1。

a=4のとき、

　　

で、もうひとつの解は6である。

独り言ですが、二次方程式をx²+px+q=0とし、その解をα、βとすると、

　　

となり、xの係数を比較すると、

　　

となるので、これを使って解くこともできる。

a=−3のとき、p=0、q=−1。で、一方の解をα=1とすると、解と係数の関係より

　　

になるのだから、β=−1と、もうひとつの解を求めることできる。
同様に、a=4のとき・・・。

タグ：中学数学

第１０回 平方根

第１０回　平方根

§　平方根

２乗するとaになる数、すなわち、

 　　
の解（根）をaの平方根という。

前回、y=x²をやった。このグラフは次のようになる。

このグラフを見ると、a>0のとき、y=x²=aを満たすxが正と負、２つあることが分かる。

そこで、x²=aを満たす正の数を+√aとし、負の数を−√aと定義する。

ただし、x²=0のとき、x=0とする。

つまり、

　　

というわけだにゃ。

これは言葉の問題になるのだけれど、「４の平方根」とは「x²=4を満たす実数x」のことで、x=±2となる。aの平方根は、a>0ならば、２つあるにゃ。

対して、√4、すなわち、「ルート４」は2だにゃ。

「aの平方根を求めよ」と言われたら、±√aと答えないといけないにゃ。√aだけじゃ〜、駄目だケロよ。

x²=aを満たす方程式の解、根が±√aだから、当然、

　　

になるケロ。

また、正数a、bに対して

　　

すなわち、

　　

になるにゃ。

このことは、２次関数y=x²のグラフより明らかでしょう。

で、さらに、a≧0ならば

　　

§　有理数と無理数

有理数とは、整数pとqを用いて

　　

と既約分数の形であらわすことのできる数のこと。

そして、有理数は、小数で表した時に、

　　

といったように、有限桁の小数であらわされるものの他に

　　

といったように循環する数字の列で表される循環小数というものがあり、有理数はこの２つで構成されている。

で、こういうふうに整数の既約分数で表せない数のことを無理数という。この代表的な数として、√2や円周率π、ネイピア数eなどがある。

ということで、√2が有理数でないことの証明をするにゃ。

この証明には、悪名高い「背理法」と呼ばれる証明法が使われるにゃ。
【証明】

√2が有理数であると仮定する。

であるとするならば、有理数の定義より

　　

と既約分数で表される整数p、qが存在する。

①の両辺を２乗すると、

　　

pの２乗、p²が偶数なので、pは偶数。偶数なので、p=2kと表せる整数kが存在する。これを②に代入すると、

　　

になる。上の議論と同様に、qは偶数となり、q=2lとあらわすことのできる整数lが存在する。

ところで、先に仮定したように

　　

は既約分数。

だけど、分子、分母であるpとqは共通の因数2をもち、既約分数ではない。

　――既約分数とは、分子と分母が１以外の公約数を持たない分数。なのに、2という公約数を持っていることになる！！――

何故、このような矛盾が生じたかというと、「√2が有理数である」という仮定が間違っていた、「偽」であったから。

よって、√2は無理数である。

（証明終わり）

 

§　平方根の計算

a>0、b>0のとき

　　

が成り立つ。

平方根の分母の有理化

　　

問題１　が６と８の間にあるとき、整数nを求めよ。

【解】

　　

だから、

　　

よって、n=6,7,8。

 

問題２　x=√3−√2、y=√3+√2のとき、x²−xy+y²の値を求めよ。

【解】

真面目に計算してもいいけれど、計算が大変だにゃ。そこで、次のように計算を工夫する。

　　

で、

　　

よって、

　　

これは、よく使う計算上のテクニック！！

問題３　√2の小数部分をaとするとき、√32の小数部分をaを用いてあらわせ。

【解】

1<√2<2だから、a=√2−1になる（※）。

　　

また、 だから、この小数部分は

　　

（※）　√2=1.414・・・=1+0.1414・・・=1+aだから、a=√2−1となる。

タグ：中学数学

第１０回　平方根

§　平方根

２乗するとaになる数、すなわち、

 　　
の解（根）をaの平方根という。

前回、y=x²をやった。このグラフは次のようになる。

このグラフを見ると、a>0のとき、y=x²=aを満たすxが正と負、２つあることが分かる。

そこで、x²=aを満たす正の数を+√aとし、負の数を−√aと定義する。

ただし、x²=0のとき、x=0とする。

つまり、

　　

というわけだにゃ。

これは言葉の問題になるのだけれど、「４の平方根」とは「x²=4を満たす実数x」のことで、x=±2となる。aの平方根は、a>0ならば、２つあるにゃ。

対して、√4、すなわち、「ルート４」は2だにゃ。

「aの平方根を求めよ」と言われたら、±√aと答えないといけないにゃ。√aだけじゃ〜、駄目だケロよ。

x²=aを満たす方程式の解、根が±√aだから、当然、

　　

になるケロ。

また、正数a、bに対して

　　

すなわち、

　　

になるにゃ。

このことは、２次関数y=x²のグラフより明らかでしょう。

で、さらに、a≧0ならば

　　

§　有理数と無理数

有理数とは、整数pとqを用いて

　　

と既約分数の形であらわすことのできる数のこと。

そして、有理数は、小数で表した時に、

　　

といったように、有限桁の小数であらわされるものの他に

　　

といったように循環する数字の列で表される循環小数というものがあり、有理数はこの２つで構成されている。

で、こういうふうに整数の既約分数で表せない数のことを無理数という。この代表的な数として、√2や円周率π、ネイピア数eなどがある。

ということで、√2が有理数でないことの証明をするにゃ。

この証明には、悪名高い「背理法」と呼ばれる証明法が使われるにゃ。
【証明】

√2が有理数であると仮定する。

であるとするならば、有理数の定義より

　　

と既約分数で表される整数p、qが存在する。

①の両辺を２乗すると、

　　

pの２乗、p²が偶数なので、pは偶数。偶数なので、p=2kと表せる整数kが存在する。これを②に代入すると、

　　

になる。上の議論と同様に、qは偶数となり、q=2lとあらわすことのできる整数lが存在する。

ところで、先に仮定したように

　　

は既約分数。

だけど、分子、分母であるpとqは共通の因数2をもち、既約分数ではない。

　――既約分数とは、分子と分母が１以外の公約数を持たない分数。なのに、2という公約数を持っていることになる！！――

何故、このような矛盾が生じたかというと、「√2が有理数である」という仮定が間違っていた、「偽」であったから。

よって、√2は無理数である。

（証明終わり）

 

§　平方根の計算

a>0、b>0のとき

　　

が成り立つ。

平方根の分母の有理化

　　

問題１　が６と８の間にあるとき、整数nを求めよ。

【解】

　　

だから、

　　

よって、n=6,7,8。

 

問題２　x=√3−√2、y=√3+√2のとき、x²−xy+y²の値を求めよ。

【解】

真面目に計算してもいいけれど、計算が大変だにゃ。そこで、次のように計算を工夫する。

　　

で、

　　

よって、

　　

これは、よく使う計算上のテクニック！！

問題３　√2の小数部分をaとするとき、√32の小数部分をaを用いてあらわせ。

【解】

1<√2<2だから、a=√2−1になる（※）。

　　

また、 だから、この小数部分は

　　

（※）　√2=1.414・・・=1+0.1414・・・=1+aだから、a=√2−1となる。

第９回 ２乗に比例する関数

第９回　２乗に比例する関数

§　２乗に比例する関数

２乗に比例する関数

yがxの２乗、x²に比例する関数のことで、これは次のように表される。

　　

aを比例定数と呼ぶ。

中学校ではこのように教えるらしい。要するに、もっとも簡単な二次関数のことだケロ。

y=x²のとき、値は、次のようになる。

次のグラフを見れば分かる通り、y=ax²のグラフはy軸について対称であり、また、y=ax²とy=−ax²はx軸について対称である。

知っていると思いますが、x²とは

　　

のことで、たとえば、

　　

である。

変化率

x=x₁とx=x₂のy=ax²の変化率は

　　

となる。

これはもっと簡単になって、

　　

になる。

ここからは逸脱になるけれど、もし、x₂が限りなくx₁に近づけば、

　　

となり、y=ax²のx=x₁における微分係数になる。そして、この値は、y=ax²のx=x₁の接線の傾きである。

あまりに書くことがなかったので、もののついでに書いただけだにゃ。

§　放物線と直線の交点

y=ax²とy=bx+cの位置関係をあらわすグラフを以下にしめすにゃ。

a、b、cの値によって、２点で交わるときもあれば、１点で接するとき、そして、交わったり接したりしない３つの場合がある。

交点のx座標は、

　　

という連立方程式から求められて、

　　

とい二次方程式から求められる。

もっとも、解（実数解）があればだよ、あれば。

中学校では虚数や複素数を数として認めていないからね。この点は重要だケロ。

この流れで一気に解の公式や二次方程式の判別式の話をしてもいいけれど、今はしないにゃ。

 

問題２　yがxの２乗に比例し、x=2のときy=−12である。このとき、x=−1のときのyの値を求めよ。

【解】

y=ax²とする。x=2のとき、y=−12なので、これをy=ax²に代入すると、

　　

よって、x=−1のとき

　　

問題３　y=ax²のグラフが(4,4)を通るとき、次の問いに答えよ。

（１）　aの値を求めよ。

（２）　xの値が４から６まで増すときの変化の割合を求めよ。

【解】

（１）　y=ax²が(x,y)=(4,4)を通過するので、

　　

（２）　変化の割合は

　　

変化の割合は、⑨を使って、次のように計算してもいいケロよ。

　　

問題４

放物線に関して、次の問いに答えよ。

（１）　点Aは原点以外のx座標とy座標が等しい放物線上の点である。点Aの座標を求めよ。

（２）　直線ABのy切片が4のとき、この直線の傾きを求めよ。また、点Bの座標を求めよ。

（３）　△OABの面積を求めよ。

【解】

（１）　点Aのx座標をaとすると、点Aは放物線上にあるので、点Aのy座標はy=a²/2となる。

よって、

　　

点Aは原点ではないので、a=0は不適。よって、a=2となり、点Aの座標は(2,2)。

（２）　直線ABの傾きは

　　

y切片は4なので、直線の方程式は

　　

この直線と放物線の交点を求める。

　　

よって、Bのx座標はx=−4となり、

　　

以上のことから、点Bの座標は(−4,8)。

（３）　△OABの面積は△OCAと△OBCの面積の和。

　　

（２）でBのy座標と求めるとき、直線の方程式を使って

　　

としてもいいケロ。

タグ：中学数学

第８回 直線

第８回　直線

これまでやってきたことの復習と”まとめ”をかねて、中学数学の延長として高校数学の内容を少し含めて話をするにゃ。

１　直線の方程式

（１）　傾きa、y切片bの直線　y=ax+b

（２）　点(x₀,y₀)を通り、傾きaの直線　y−y₀=a(x−x₀)

（３）　２点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)を通る直線の方程式

 　　

（４）　x切片p、y切片qの直線の方程式

　　

（４）の式ははじめて出てきたと思うんで、これだけ、説明することにする。

x切片とは、直線とx軸（y=0）の交点のx座標のこと。だから、（４）の直線は２点(0,q)、(p,0)を通る直線。(x,y)=(0,q)、(x,y)=(p,0)を

　　

に代入すれば、左辺は1になるので、これがその直線の方程式であることが分かる。

論より証拠というわけで、次の図を見れば、このことが分かるにゃ。

２　２直線の位置関係

２直線y=mx+n、y=m'x+n'について

（１）　平行条件　m=m'　　　（さらに、n=n'ならば２直線は一致）

（２）　垂直条件　mm'=−1

ネムネコは、高校数学の教科書を持っていないので、教科書で（２）の垂直条件をどのように導いているかは知らない。だけれども、ベクトルを使うのならば、y=mx+nの方向ベクトル、y=m'x+n'の方向ベクトルになる。この２直線が垂直なので、この２つの方向ベクトルが垂直ということになり、ベクトルの内積を使うと、

　　

と簡単に出てくる。

中学レベルの知識を使ってこのことを示そうと思ったけれど、これは図に頼った証明になるのでやめるにゃ。mとm'が異符号であることを無前提に使っているから、こういう証明はちょっと危ないにゃ(^^)

問題１　次の直線の方程式を求めよ。

（１）　傾きが3で点(2,−4)を通る。

（２）　点(2,−5)を通りy軸に平行な直線。

（３）　２点(−5,3)、(2,−1)を結ぶ直線。

（４）　x切片が3、y切片が-4。

【答】

 

問題２　２直線y=2x+a+3、y=3x+2aが第２象限で交わるためのaの値の範囲を求めよ。

【解】

２直線y=2x+a+3、y=3x+2aの交点を求める。

　　

yを消去すると、

　　

よって、

　　

交点が第２象限（x<0、y>0）にあるので、

　　

よって、3<a<9

 

問題３　次の直線の方程式を求めよ。

（１）　点(−1,1)を通り、直線x+3y=0に平行な直線および垂直な直線。

（２）　２点(6,−2)、(−3,1)を結ぶ線分の垂直２等分線。

【解】

（１）

　　

よって、この直線に平行で点(−1,1)を通る直線は

　　

に垂直な直線の傾きをmとすると、

　　

よって、

　　

（２）　欲しいのは２点(6,−2)、(−3,1)を結ぶ直線の方程式ではなく、傾きだけだケロ。ということで、傾き求める。

　　

この線分に垂直な直線の傾きmとすると、

　　

垂直二等分線なので、(6,−2)、(−3,1)の中点を通る。

ということで、中点求める。

　　

よって、求める直線は

　　

タグ：中学数学

第７回 二元一次方程式のグラフと連立一次方程式

第７回　二元一次方程式のグラフと連立一次方程式

§　二元一次方程式のグラフ

二元一次方程式の一般形は、

　　

ただし、aとbは同時に０でない。

a≠0、b≠0のとき、①は

　　

となり、傾きがでy切片がの直線になる。

a=0のとき、

　　

となり、x軸に平行な直線になる。

b=0のとき

　　

となり、y軸と平行な直線になる。

いずれにせよ、ax+by=cを満たす(x,y)は直線の方程式になる。

例

（１）　5x−3y=−15

これをyについて解くと、

　　

だから、傾きが5/3、y切片が5の直線になる。

（２）　y=5

これは、y=5でx軸に平行な直線。

（３）　x=2

これはx=2でy軸に平行な直線。

グラフで表現すると、次のようになる。

問題　直線kx−y=3kについて

（１）　y切片が３であるときのkの値を求めよ。

（２）　直線y=2x+1と平行となるようなkの値を求めよ。

（３）　kがいろいろな値をとるとき、この直線はある決まった点（不動点）を通る。その点の座標を求めよ。

【解】

（１）　kx−y=3kにx=0、y=3を代入すると、

　　

（２）

　　

y=kx+3kとy=2x+1が平行だから、傾きが等しく、k=2となる。

 

（３）

　　

だ・か・ら、kの値にかかわらず、x=3、y=0のとき、⑨式は0になる。よって、(3,0)。

§　二元一次方程式のグラフと連立方程式の解

次の二元一次連立方程式があるとする。

　　

①と②ともに直線なので、この連立方程式の解はこの２直線の交点になる。

具体的な例をだしたほうがわかりやすいので次の連立方程式を考えることにする。

　　

②は①の両辺を２倍にしたものだから、この連立方程式の解はy=−2x+3という直線上のすべての点となり、解は一つに定まらない（不定）。

②が①の0以外の定数倍のときも事情は同じ。

つぎに、

　　

という連立方程式を考える。

①は傾き−2でy切片は3。②は傾き−2でy切片は5。傾きが同じなので、①と②の直線は平行で、この②直線が交わることはない。つまり解はない（不能）。

といことで、

　　

という連立方程式の解が一つであるためには、①と②が平行でないことが必要な条件になる。

このことは行列を使うとわかりやすい、この連立方程式を行列で書くと

　　

となる。

で、もし

　　

という行列が逆行列をもつと

　　

がただひとつの解になる。

Aが逆行列をもつ条件は、

　　

よって、これが二元連立一次方程式が解をもつための必要十分条件になる。

今、書いている部分の話は、中学の数学の範囲を超えているので、①と②が平行のとき、この連立方程式は解けない、ということだけを覚えて欲しい。

　――内緒話だが、③はが平行でない必要十分条件！！――

問題２　２直線x+y=6、x+ay=−6が直線y=2x上で交わるとき、aの値を求めよ。

【解】

x+y=6とy=2xは、互いに平行じゃないから解を持つケロ。

だから、まずこの交点を求めるにゃ。

　　

y=2xをx+y=6に代入すると、

　　

y=2xだから、x=2のとき、y=4になるにゃ。

この(2,4)をx+ay=−6が通過するので、

　　

問題３　−x+y=1、x+y=3、y=k(x+3)が三角形を作らないようにkの値を定めよ。

【解】

−x+y=1、x+y=3の交点は(1,2)。この点をy=k(x+3)が通過するとき三角形にならないケロ。

だから、

　　

これだけではないケロ。

−x+y=1とy=k(x+3)が平行のとき、この２直線は交わらない。ということで、k=−1。

同様に、x+y=3とy=k(x+3)が平行のときにもこの２直線は交わらない。よって、k=1。

だから、答えは

　　

2016-04-16 11:5

タグ：中学数学

第７回　二元一次方程式のグラフと連立一次方程式

§　二元一次方程式のグラフ

二元一次方程式の一般形は、

　　

ただし、aとbは同時に０でない。

a≠0、b≠0のとき、①は

　　

となり、傾きがでy切片がの直線になる。

a=0のとき、

　　

となり、x軸に平行な直線になる。

b=0のとき

　　

となり、y軸と平行な直線になる。

いずれにせよ、ax+by=cを満たす(x,y)は直線の方程式になる。

例

（１）　5x−3y=−15

これをyについて解くと、

　　

だから、傾きが5/3、y切片が5の直線になる。

（２）　y=5

これは、y=5でx軸に平行な直線。

（３）　x=2

これはx=2でy軸に平行な直線。

グラフで表現すると、次のようになる。

問題　直線kx−y=3kについて

（１）　y切片が３であるときのkの値を求めよ。

（２）　直線y=2x+1と平行となるようなkの値を求めよ。

（３）　kがいろいろな値をとるとき、この直線はある決まった点（不動点）を通る。その点の座標を求めよ。

【解】

（１）　kx−y=3kにx=0、y=3を代入すると、

　　

（２）

　　

y=kx+3kとy=2x+1が平行だから、傾きが等しく、k=2となる。

 

（３）

　　

だ・か・ら、kの値にかかわらず、x=3、y=0のとき、⑨式は0になる。よって、(3,0)。

§　二元一次方程式のグラフと連立方程式の解

次の二元一次連立方程式があるとする。

　　

①と②ともに直線なので、この連立方程式の解はこの２直線の交点になる。

具体的な例をだしたほうがわかりやすいので次の連立方程式を考えることにする。

　　

②は①の両辺を２倍にしたものだから、この連立方程式の解はy=−2x+3という直線上のすべての点となり、解は一つに定まらない（不定）。

②が①の0以外の定数倍のときも事情は同じ。

つぎに、

　　

という連立方程式を考える。

①は傾き−2でy切片は3。②は傾き−2でy切片は5。傾きが同じなので、①と②の直線は平行で、この②直線が交わることはない。つまり解はない（不能）。

といことで、

　　

という連立方程式の解が一つであるためには、①と②が平行でないことが必要な条件になる。

このことは行列を使うとわかりやすい、この連立方程式を行列で書くと

　　

となる。

で、もし

　　

という行列が逆行列をもつと

　　

がただひとつの解になる。

Aが逆行列をもつ条件は、

　　

よって、これが二元連立一次方程式が解をもつための必要十分条件になる。

今、書いている部分の話は、中学の数学の範囲を超えているので、①と②が平行のとき、この連立方程式は解けない、ということだけを覚えて欲しい。

　――内緒話だが、③はが平行でない必要十分条件！！――

問題２　２直線x+y=6、x+ay=−6が直線y=2x上で交わるとき、aの値を求めよ。

【解】

x+y=6とy=2xは、互いに平行じゃないから解を持つケロ。

だから、まずこの交点を求めるにゃ。

　　

y=2xをx+y=6に代入すると、

　　

y=2xだから、x=2のとき、y=4になるにゃ。

この(2,4)をx+ay=−6が通過するので、

　　

問題３　−x+y=1、x+y=3、y=k(x+3)が三角形を作らないようにkの値を定めよ。

【解】

−x+y=1、x+y=3の交点は(1,2)。この点をy=k(x+3)が通過するとき三角形にならないケロ。

だから、

　　

これだけではないケロ。

−x+y=1とy=k(x+3)が平行のとき、この２直線は交わらない。ということで、k=−1。

同様に、x+y=3とy=k(x+3)が平行のときにもこの２直線は交わらない。よって、k=1。

だから、答えは

　　

第６回 一次関数とそのグラフ

第６回　一次関数とそのグラフ

§一次関数

一次関数とは、２つの変数xとyの関係が

　　

で表される関数のこと。

上の式から明らかなように、b=0のときは、y=axとなり、yはxに比例する。

　　

と変形すれば、y−bがxに比例すると考えることもできる。

(x₁,y₁)、(x₂,y₂)という点がy=ax+bを満たすならば、

　　

となるので、③−②は

　　

となり、

　　

になる。

このことは、y=ax+bをグラフに描いた次のものを見ればよくわかると思う。

また、②にこの結果を代入すれば、

　　

これを①式に代入し整理すると、

　　

となる。

そして、これは、２点、(x₁,y₁)、(x₂,y₂)を通る直線の方程式と呼ばれるものだケロ。

④式は高校の数学の範囲になるので、中学数学に戻ることにするにゃ。

問題１　yはxの一次関数で、xの値が１増すごとにyの値は３ずつ増し、x=2のときy=−1である。この一次関数を求めよ。

【解】

この一次関数をy=ax+bとする。

このとき、

　　

だから、

　　

また、x=2のときy=−1なので、これをy=ax+bに代入すると、

　　

よって、y=3x−7

§一次関数のグラフ

一次関数y=ax+bのグラフは、直線y=axに平行で、点(0,b)を通る直線。

このaを直線の傾き、bをy切片という。

これも中学の範囲を逸脱するけれど、傾きがmで点(x₀,y₀)を通る直線の方程式は

　　

で与えられる。

上の式にx=x₀を代入すれば、y=y₀になるし、y=y₀を代入すれば、x=x₀になることから、これが条件を満たしていることは明らかでしょう。

ちなみに、２直線

　　

があるとき、m=m'ならば、この２直線は互いに平行であり、平行であるならばm=m'でならなければならない。

では、問題。

問題２　次の直線を求めよ。

（１）　y=−3x+1に平行で、点(3,2)を通る直線。

（２）　２点(1,2)、(3,8)を通る直線。

【解】

（１）　y=−3x+1と平行な直線なので、傾きは−3。

で、⑤を使うのならば、(x₀,y₀)=(3,2)なので

　　

使わないのならば、y=−3x+bとおき、これが(3,2)を通るので、x=3、y=2を代入し

　　

よって、求める直線はy=−3x+11

（２）　この直線の方程式をy=ax+bとする。

この直線は２点(1,2)、(3,8)を通るので、x=1、y=2、さらに、x=3、y=8を代入すると、

　　

となる。

代入法を使って上の連立方程式を解いてもいいけれど、②から①を引くとbが消えるので

　　

となる。

①と②のどちらにa=3を代入してもいいけれど、①の方が計算が楽なので①に代入し、

　　

よって、求める直線はy=3x−1となる。

④を使うならば、(x₁,y₁)=(1,2)、(x₂,y₂)=(3,8)として、

　　

と出てくる。

あるいは、傾きaは

　　

とすぐに出るから、y=3x+bとし、これが(1,2)を通過するので、x=1、y=2を代入する。

　　

と計算してもいい。

x=3、y=8のときは

　　

となる。

問題３

（１）　下の図の直線ABをの式を求めよ。



（２）　直線y=3x+bが線分ABの中点を通るようにbの値を定めよ。
【解】

（１）　図よりy切片は４。傾きは

　　

よって、y=−2x+4。

（２）　中点の座標は

　　

この点をy=3x+bが通るので、x=1、y=2を代入し、

　　

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第５回 比例・反比例

第５回　比例・反比例

§比例

比例

２つの変数、xとyの間に次のような関係があるとする。

　　

このとき、yはxに（正）比例するといい、定数aを比例定数という。

これはy=3xという関係があり、yはxに比例し、比例定数a=−3となる。

ちなみに、yがxに正比例し、x≠0ならば、

　　

になる。

aは、定数だから、当然、変化しない。もし、xとyの値によってaの値が変わるのならば、xとyは比例関係にないことになる。

y=axのグラフから明らかなように、a>0ならば右上がりの原点を通る直線となりa<0ならば右下がりの原点を通る直線となる。

問題１　yはxに比例し、x=3のときy=−6である。x=−4のとき、yの値はいくらか。

【解】

y=axとすると、x=3、y=−6なので、

　　

よって、x=−4のとき

　　

たぶん、こう解くのが模範解答なのでしょう(^^ゞ

【別解１】

x=−4のときのyの値をyとする。xとyは比例関係にあるので、

　　

【別解２】

小学校レベルの知識を使うならば、

　　

内項の積＝外項の積だから、

　　

どう解かなければならないということはないだろう。一番楽なのは別解１だと思うけれど、別解２で解いても構いやしない（笑）。

問題２　直線y=axが点A(1,2)と点B(3,1)を結ぶ線分ABを通るとき、aはどんな範囲の数か。

【解】

こういう時こそ、グラフの出番だケロ。

この図からほとんど明らかだけれど、aが最小の時は点B(3,1)を通るときで、aが最大の時はA(1,2)を通るとき。

点Bを通るとき、

　　

点Aを通るとき

　　

よって、

　　

§反比例

反比例

２つの変数、xとyに次の関係があるとき、yはxに反比例するという。

　　

上の関係からxy=a=一定となるにゃ。
グラフは次のようになる。

a>0のとき、y=a/xの曲線は第１象限、第３象限にあり、a<0のときy=a/xは第２象限、第４象限にある。また、この曲線は原点について対称である。

問題３　反比例をあらわすグラフが点(1.5,8)を通るとき、このグラフ上の点(x,y)で、x、yがともに整数である者はいくつかるか。

【解】

反比例なのだから

　　

よって、

　　

x>0で考えると、xとyが整数になるのはxが１２の約数のとき。だから、x={1,2,3,4,6,12}の６個。x<0の時も同様に６個あるので、１２個。

こんな問題ばかり解いていると⑨になりそうだにゃ(>_<)。

問題　x>0で定義された

　　

という曲線があるとする。この曲線上の点Pに接する接線とy軸との交点をA、x軸との交点をBとする。

このとき、

（１）　Pは線分ABの中点であることを示せ。

（２）　△OABの面積は点Pの位置によらず一定であることを示せ。

【解】

　　

とし、点Pのx座標をaとする。

接線の方程式は、

　　

だから、

　　

よって、点Aのy座標は

　　

点Bのx座標は

　　

（１）　線分ABの中点を求めると

　　

で、点Pである。

（２）　△OABの面積Sは

　　

よって、Pの位置にかかわらず一定値2kである。

この問題は、ひょっとしたら微分積分の時にやったかもしれないけれど、面白い性質なんじゃ〜あるまいか。
そして、こうしたことを面白い、何故だろうなんだろうと思う感性は大切なんじゃなかろうか。

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第４回 関数と座標

第４回　関数と座標

§関数

ともなって２つの変わる量

個数（個）	1	2	3	4	5	6
代金（円）	80	160	240	320	400	480

上の例の個数と代金のように、一つの量が変わるに連れてもう一方の量が変わるような量をともなって変わる２つの変わる量という。

いろいろと変わる数量を一つの文字であらわし、いろいろな値をとる文字を変数、変数の取りうる範囲を変域という。

上の例で、個数をx、代金をyとすると、xとyの間にはy=80xという関係がある。

xの変域　{1, 2, 3, 4, 5, 6}

yの変域　{80, 160, 240, 320, 400, 480}

関数

変数x、yがあって、xの値を決めるとyの値がひとつだけに決まるとき、yはxの関数という。

中学では、このように関数を教えるらしい。難しいケロ。

問題１　まわり４０ｃｍの長方形がある。縦の長さをxｃｍ、横の長さをyｃｍとして、次の問いに答えよ。

（１）　yをxの式であらわせ。

（２）　x=5のときのyの値を答えよ。

（３）　yはxの関数と言えるか。

【解】

（１）　2(x+y)=40だからx+y=20。よって、y=20−x。

（２）　x=5のとき、y=20−x=20−5=15。
（３）　xの値が与えられるとyの値もただひとつ決まるので関数である。

この問題にはないけれど、xの変域（定義域）は0<x<20、yの変域（地域）も0<y<20。

§座標

座標

下の図で、横の数直線をx軸、縦の数直線をy軸といい、x軸とy軸を合せて座標軸という。さらに、x軸とy軸の交点を原点と言いOであらわす。

点の座標

上の図の点Pの位置は、Pからx軸、y軸におろした垂線と座標軸の交点の座標（？）3と4をの組(3,4)をPの座標という。また、3をPのx座標、4をPのy座標という。

象限

座標軸で分けられた４つの部分。上図の①を第１象限、②を第２象限、③を第３象限、④を第４象限という。

 

§中点

２点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)の中点の座標は

　　

である。

(a,b)とx軸について対称な点は(a,−b）、y軸について対称な点は(−a,b)であり、原点について対称な点は(−a,−b）である。

問題２　点(3,−2)について、点(1,2)と対称な点の座標を求めよ。

【解】

対称な点の座標を(x,y)とする。このとき、

という関係があるので、x+1=6、y+2=−4となり、(x,y)=(5,−6)となる。

問題３　点A(2,4)、B(6,2)がある。

（１）　点Aと原点Oについて対称な点の座標を求めよ。

（２）　平行四辺形AOBCをかき、点Cの座標を求めよ。

（３）　平行四辺形AOBCの面積を求めよ。

【解】

（１）　(−2,−4)

（２）　(8,6)

（３）　A、Bからx軸への垂線をおろし、x軸との交点をA'、B'とする。

　　△AOB=△AOA'+台形AA'B'B−△BOB'

になる。

　　

平行四辺形の面積はこの２倍なので、答えは２０。

中学の範囲を超えるけれど、ベクトルを使うならば、

　　

そして、（３）は

　　

で与えられる。

で、

　　

とすると、

　　

になるということをやったにゃ。

だから、

　　

と、簡単に暗算で出てくるのであった。

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中学数学 第３回 不等式

第３回　不等式

不等式の性質

（１）　aとbの大小関係は、a>b、a=b、a<bのうちのどれか一つが成立する。

（２）　a>b、b>cならばa>cである。

（３）　a>bならばa+c>b+cである（cは任意の実数）。

（４）　a>bのとき、c>0ならばac>bc、c<0ならばac<bc

これは数（実数）の公理みたいなものだから、何故、これは無条件で受け入れてもらわないと困るにゃ。

例題　a>b、c>dのとき、a+c>b+dであることを証明せよ。

【証明】

a>bならばa+c>b+c

c>dならばb+c>b+d

よって、

a+c>b+c、b+c>b+dならば、a+c>b+d

（証明終わり）

では、不等式の基本的性質に関する問題。

問題１　次のことは一般に成り立たない。成り立たない例（反例）をあげよ。
（１）　a>c、b>cならばab>c²

（２）　a>0、bは任意の実数のときab²>0

（３）　b/a>1ならばb>aである。

【解】

大体、こういう時は、マイナスの数の掛け算（割り算）が関係しているにゃ(^^)

ということで、

（１）　a=b=1、c=−2。

（3）　b=−2、a=−1

（２）　a=1、b=0

問題２　a+b>c、b+c>a、c+a<bのとき、a、b、cの間にはどの関係が成り立つか。

（１）　a>b>c　　（２）　b>c、a>c　　（３）　b>c、b>a

（４）　b>c>a　　（５）　b>a>c

【解】

成り立つのは（３）だけ。

a+b>c、b>c+aより、

　　

b+c>aとb>c+aより

　　

よって、（３）は成立する。

（３）以外が成り立たない反例として、a=c=0、b=1を上げればいいにゃ。

問題にはないのだけれど、

a+b>cとb+c>aより

　　

という関係が出てくるにゃ。

問題３　次の問を答えよ。

（１）　不等式2x−8>4x+5の解のうちで、最も大きい整数を求めよ。

（２）　ある数xの５倍から６を引いた数は、xの３倍に２加えた数より小さい。xはどんな範囲の数か。

【解】

（１）

　　

−6.5より小さい整数の最大の数は−７なので、答えは−７。

（２）　5x−6<3x+2

これを解くと、

　　

よって、答えはx<4

問題４

　　

を同時に満たす整数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。

【解】

　　

①より

　　

これを②に代入すると、

　　

①を解くと

　　

②を解くと

　　

よって、6<x<9。

これを満たす整数xは７、８。

x=7のとき

　　

x=8のとき

　　

よって、題意を満たす組み合わせは(8,5)。

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中学数学 第２回 連立一次方程式

中学数学　第２回　連立一次方程式

連立方程式とは、方程式が２つ以上組み合わされたもの。次のように

　　

のように、　未知数が２つの連立一次方程式を、連立２元一次方程式という。

連立２元一次方程式の一般形は、

　　

になり、行列を使うと

　　

と表される。

で、連立一次方程式の解法としては、代入法、加減法と呼ばれるものがある。

代入法の例

　　

①をｙについて解くと

　　

これを②に代入すると、

　　

x=2を③に代入すると、

よって、x=2、y=−1が解となる。

加減法の例

　　

①と②をじっと見て、最初にどちらを消去したいか考える。この場合、どっちでも似たようなものなので、yを消去することにする。

yの係数の絶対値を同じにするために、①に３を掛け、②に２をかける。

　　

で、③と④を足すと6yが消える。

　　

①、②のどちらにx=3を代入してもいいけれど、①に代入すると、

　　

「何で、オレがこんな計算をしなければならないんだ」と、だんだん腹が立ってくる(^^ゞ

問題１　aをbで割ると商が３で余りが８になり、aの３倍をbで割ると商が１１で余りが２になるような、２つの正数があるか。あればその２数を求めよ。

【解】

（割られる数）＝（割る数）×（商）＋（余り）

だから、

　　

①を②に代入すると、

　　

これを①に代入して

　　

となる。

a=41、b=11は題意を満たすので、a=41、b=11である。

問題２　y=ax+bと表される等式で、x=2のときy=1、x=5のときy=10である。a、bの値を求めよ。

【解】

x=2のとき2a+b=1、x=5のとき5a+b=10。

　　

となる。

②から①を引くとbが消えるケロ。

　――ケロケロしないと、ネムネコの精神の均衡が保てない！！――

　　

a=3を①に代入すると、

　　

a=3、b=−5は題意を満たすので、これが答え。

この問題２は２点を通る直線の方程式を求めている。

このことは、次の図を見るとよくわかると思う。

直線の傾きaは

　　

になっているし、y切片bは5になっている。

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