定積分の応用 面積の分割に関する問題

定積分の応用　面積の分割に関する問題

問題１　直交軸において、原点と点(1,1)を結ぶ線分を対角線とする正方形がある。方程式において、nを変えると種々の曲線ができるが、その中から２つの曲線を求めて、これによって正方形を３等分せよ。

【解】

３等分する２つの曲線を

　　

とし、0≦x≦1で

　　

とすると、

　　

よって、

　　

である。

（解答終了）

点(1,1)を点Aとし、原点OとAとを直線で結ぶと、直線OA、つまりy=xに関して対称。

y=x²の定義域を0≦x≦1とすれば、もう一方の曲線はx=y²（0≦y≦1）で、これからy=√xが出てくる。

 

問題２　aを正の定数とするとき、曲線

　　

と両座標軸で囲まれた図形を曲線y=sinxが２等分するようにaの値を定めよ。

【解】

0<x<π/2におけるy=acosxとy=sinxの交点のx座標をαとすると、

　　

また、sin²α+cos²α=1だから、cosα、sinαについて解くと
　　

問題の条件より

　　
①に
　　
を代入すると、

　　

両辺を２乗すると、

　　

a>0だから、

　　

（解答終了）

 

問題３　曲線y=sinx上の点P(a,b)における接線とx軸との交点をKとし、Pからx軸におろした垂線の足をHとする。

△PKHが曲線y=sinxによって分けられる２つの部分の面積比が

　　（図形PKO）：（図形POH）=1:2

となるようにaを定めよ。ただし、Oは座標の原点、0<a<π/2とする。

【解】

図形PKO:図形POH=1:2だから、

　　△PKH:図形POH=3:2

接点Pにおける接線の方程式は、y'=cosxだから

　　

この接線とx軸との交点Kのx座標をtとすると

　　

よって、△PKHの面積S₁は

　　

図形POHの面積S₂は

　　

S₁:S₂=3:2だから2S₁=3S₂。

よって、①と②より

　　

sin²a+cos²a=1を使って③からsin²aを消去すると、

　　

0<a<π/2だからcosa=1は解として不適なので、

　　

（解答終了）

 

問題４　曲線y=logxとx軸との交点をAとする。また、この曲線に原点Oから引いた接線の接点をB、Bからx軸におろした垂線の足をHとする。

（１）　接線OBの方程式を求めよ。

（２）　線分AH上に１点Pをとり、線分AP、BPおよび曲線ABの囲む面積を△BOHの半分にしたい。Pのx座標を求めよ。

【解】

（１）　接点Bの座標を(t,logt）とすると、y'=1/xだから、接線の方程式は

　　

これが原点Oを通過するので、

　　

よって、接線の方程式は

　　

（２）　接点Bの座標は(e,1)だから、△BOHの面積は

　　

点Pの座標をpとすると、△BPHの面積は

　　

問題の条件より
　　

（解答終了）

タグ：微分積分

ネムネコ、閃く！！というほどのものではないが…

ネムネコ、閃く！！というほどのものではないが…

問題　次の曲線とx軸、y軸の間で囲まれる部分の面積を求めよ。

　　

【解】

根号内で負になってはいけないので、x≧0、y≧0。

また、

　　

同様に、y≦1。

したがって、0≦x≦1、0≦y≦1

また、

　　

よって、求めるべき面積Sは

　　

（解答終了）

なのですが、

　　

この曲線①は媒介変数tを用いて

　　

とあらわすことができる。

したがって、次のように解くこともできる。

【別解】

曲線①は媒介変数を用いて

　　

よって、

　　

したがって、面積Sは

　　

（解答終了）

 

別解は、問題の解答中に出てくる定積分

　　

に対して、√x=tとおいて、置換積分したものと同等のもの。

また、

　　

と

　　

は同じ曲線。

だから、

　　

ここで、

　　

と変数を変換すると、②は

　　

になる。

つまり、曲線①の正体は放物線の一部ということが分かる。

タグ：微分積分

接線と面積

接線と面積

問題１　直角双曲線xy=k（k>0)の上の１点Pからx軸におろした垂線の足をQ、Qからこの双曲線に引いた接線の接点をTとすると、線分PQ、および双曲線の弧TPで囲まれる部分の面積Sは、Pが双曲線のっどこにあっても一定であることを示せ。

【解】

Pの座標をとするとQの座標は(p,0)。

接点Tの座標をとすると、だから、接線の方程式は

　　

点Q(p,0)を通るので

　　

よって、接線の方程式は

　　

したがって、面積Sは
　　

（解答終了）

問題２　曲線上の点Pにおける接線とx軸の交点をQとする。P、Qからy軸に平行に引いた直線と、上の曲線およびx軸とで囲まれた部分は、PQによってどのような比に分けられるか。

【解】

は偶関数で、x軸に関して対称なので、a>0について考えれば十分。

　　

したがって、点Pにおける接線は
　　

よって、x軸との交点Qのx座標は

　　

点P、Q、(a,0)で囲まれる三角形の面積は

　　

曲線とx軸、x=a、x=3a/2とで囲まれる部分の面積は
　　

したがって、面積比は

　　

（解答終了）

 

問題３

（１）　x軸上の点P(a,0)から曲線に２本の接線が引けるためのaの条件を求めよ。

（２）　a=1/2のとき、この曲線と上の２接線で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

（１）

　　

接点の座標をとすると、接線の方程式は

　　

これが点(a,0)を通過するので、

　　

この方程式が相異なる２実根を持つので

　　

（２）　a=1/2のとき

　　

よって、接線の方程式は

　　

面積Sは

　　

（解答終了）

 

問題４　曲線y=logx上の定点A(1,0)と動点Pとにおける接線の交点をQとする。またP、Qからx軸へおろした垂線の足をそれぞれR、Tとし、この曲線とPR、ARによって囲まれた部分の曲線をSを、△AQRの面積S₁、△APTの面積をS₂とする。

（１）　の値を求めよ。

（２）　Pがこの曲線に沿ってAに近づくの極限値を求めよ。

【解】

（１）

　　

点Aにおける接線は

　　

Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

　　

Qは①と②の交点だから
　　

よって、

　　

面積Sは
　　

③と④より、

　　

（２）



　（１）より、Tの座標は

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

t<1のときlogt<0、t−1<0、t>1のとき、logt>0、t−1>0で、いずれにせよ

　　

よって、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

定積分の応用 閉曲線の面積

接線と面積

問題１　直角双曲線xy=k（k>0)の上の１点Pからx軸におろした垂線の足をQ、Qからこの双曲線に引いた接線の接点をTとすると、線分PQ、および双曲線の弧TPで囲まれる部分の面積Sは、Pが双曲線のっどこにあっても一定であることを示せ。

【解】

Pの座標をとするとQの座標は(p,0)。

接点Tの座標をとすると、だから、接線の方程式は

　　

点Q(p,0)を通るので

　　

よって、接線の方程式は

　　

したがって、面積Sは
　　

（解答終了）

問題２　曲線上の点Pにおける接線とx軸の交点をQとする。P、Qからy軸に平行に引いた直線と、上の曲線およびx軸とで囲まれた部分は、PQによってどのような比に分けられるか。

【解】

は偶関数で、x軸に関して対称なので、a>0について考えれば十分。

　　

したがって、点Pにおける接線は
　　

よって、x軸との交点Qのx座標は

　　

点P、Q、(a,0)で囲まれる三角形の面積は

　　

曲線とx軸、x=a、x=3a/2とで囲まれる部分の面積は
　　

したがって、面積比は

　　

（解答終了）

 

問題３

（１）　x軸上の点P(a,0)から曲線に２本の接線が引けるためのaの条件を求めよ。

（２）　a=1/2のとき、この曲線と上の２接線で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

（１）

　　

接点の座標をとすると、接線の方程式は

　　

これが点(a,0)を通過するので、

　　

この方程式が相異なる２実根を持つので

　　

（２）　a=1/2のとき

　　

よって、接線の方程式は

　　

面積Sは

　　

（解答終了）

 

問題４　曲線y=logx上の定点A(1,0)と動点Pとにおける接線の交点をQとする。またP、Qからx軸へおろした垂線の足をそれぞれR、Tとし、この曲線とPR、ARによって囲まれた部分の曲線をSを、△AQRの面積S₁、△APTの面積をS₂とする。

（１）　の値を求めよ。

（２）　Pがこの曲線に沿ってAに近づくの極限値を求めよ。

【解】

（１）

　　

点Aにおける接線は

　　

Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

　　

Qは①と②の交点だから
　　

よって、

　　

面積Sは
　　

③と④より、

　　

（２）



　（１）より、Tの座標は

　　

したがって、

　　

ゆえに、

　　

t<1のときlogt<0、t−1<0、t>1のとき、logt>0、t−1>0で、いずれにせよ

　　

よって、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

ワンポイントゼミ x=t²+1、y=2−t−t²のグラフならび・・・

ワンポイントゼミ　x=t²+1、y=2−t−t²のグラフならび・・・

定積分の応用　面積４で出てきた次の方程式

　　

から

　　

とし、tを消去すると

　　

したがって、方程式x=t²+1、y=2−t−t²で与えられる曲線は、次の２つの曲線からなると考えることができる。

　　

よって、この曲線とx軸で囲まれる面積Sは

　　

t=x−1とおくと、

　　

また、

　　

両辺を２乗すると

　　

と、一つの方程式でこの曲線をあらわすことができる。

ここから先は読むな！！

この曲線の正体は、原点を中心に４５°時計回りに回転させるとわかります。

１次変換の知識を使い、

　　

として、これを①に代入すると、

　　

となり、この曲線の正体が放物線であることがわかる。

このとき、x軸はy=−xに写されるので、放物線

　　

と直線y=−xで囲まれた面積と等しいことになる。

点A(2,0)、点B(5,0)の像A'、B'のx座標はそれぞれ2/√2、5/√2になるので、

放物線の定積分に関する次の公式

　　

を用いると、

　　

と求められる。

ちなみに、点(x,y)を原点を中心に半時計回りにθ回転して得られる点(x',y')は、行列を用いて書くと

　　

で、

　　

この場合、反時計回りに45°だから

　　

これから、A(2,0)、B(5,0)の像A'、B'のx座標は2/√2、5/√2となることが分かる。

あなた、読むなと言ったのに、読みましたね。




頭が呪われたにゃ！！

タグ：微分積分

定積分の応用 面積４ 媒介変数で表された曲線の場合２

定積分の応用　面積４　媒介変数で表された曲線の場合２

前回に引き続き、媒介変数で表された曲線の面積を求める問題を解くことにする。

前回解いた問題は、どれも、a≦x≦bにおいてdx/dt≧0、または、dx/dt≦0、つまり、xがtに関して（広義の）単調増加、または、単調減少の場合で、今回はより複雑なdx/dtの符合が正から負、または、負から正に変わるより複雑なものを扱うことにする。

 

問題１　曲線x=3t−t³、y=4−t⁴（−√2≦t≦√2）とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解き方】

この曲線とx軸との交点のtの値は、y=0から

　　

したがって、t=±√2。

　　

xはtの奇関数、yはtの偶関数だから、この曲線はy軸に関して対称（右図参照）。

したがって、求めるべき面積は第１象限の部分（0≧t≦√2）の面積の２倍である。

そこで、この曲線の0≦t≦1の部分をy₁、この曲線の1≦t≦√2の部分をy₂とおくと、右の図になる。

だから、曲線y₁、y₂、そして、x軸、y軸で囲まれた部分の面積は

　　

よって、求めるべき面積Sは

　　

【解き方終わり】

注意すべことは、0≦t≦√2のとき

　　

だから、0≦t<1ではxは増加、そして、1<t≦√2ではxは減少するということ。

そして、x=√2に対応するtはt=√2、x=2に対応するtはt=1であること。

だから、

　　

になっている！！
また、

　　

として、極値やyのxに対する増減を求めることができ、t=0のときにyは極大になることが分かる。

さらに、①をxで微分すると

　　

として、この曲線の凹凸を調べることもできる。

意欲のある人は、

　　

として、計算を続け、凹凸を調べて欲しい。

問題２　次の方程式のあらわす曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。

　　

上の問題は、x=t²からt=±√xとして、

　　

そして、

　　

とし、この２つの曲線の概形（右図参照）を書き、x軸との交点などを求める。

そして、

　　

と求めたほうが楽なのでしょうが・・・。

【解】

y=t²+t−2とx軸との交点のtの値を

　　

−2≦t≦1で、xの取りうる値の範囲は0≦x≦4。

　　

−2≦t<0でxは減少し、t=−2のときx=4で、t=0のときx=0。

0<t≦1でxは増加し、t=0のときx=0、t=1のときx=1。

0≦t≦1の曲線の部分をy₁、−2≦t≦0の曲線をy₂とすると、

したがって、面積Sは

　　

（解答終了）

問題３　tがすべての実数の範囲を動くとき、

　　

を座標とする点(x,y)は１つの曲線をえがく。この曲線とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。

【略解】

　　

（略解終了）

なお、問題１、２、３では、

　　

という定積分の性質を使っている。

タグ：微分積分

定積分の応用 面積３ 曲線が媒介変数で表された場合

定積分の応用　面積３　曲線が媒介変数で表された場合

曲線がパラメータで表された場合

次のようにパラメータ・媒介変数で表された曲線

　　

が、区間a≦x≦bの間でx軸と囲む部分の面積は

　　

で与えられる。

特に、a≦x≦bにおいて、y≧0のとき

　　

である。

問題１　サイクロイド

　　

とx軸とで囲まれる１つの部分の面積を求めよ。

【解】

　　

だから、

　　

（解答終了）

 

問題２　次の点(x,y)のえがく曲線の囲む図形の面積を求めよ。ただし、a>0、b>0とする。

　　

【解】

（１）

　　

この曲線の囲む面積Sは、第１象限の部分を４倍したものと等しい。

x=のときθ=π/2、x=aのときθ=0。

よって、

　　

（２）　この曲線は

　　

この曲線で囲まれる面積は第１象限の部分を４倍したものに等しい。

　　

したがって

　　

（解答終了）

上の計算では次の公式を使っている。
　　
この公式の証明は定積分の漸化式のところで証明をしてある！！

問題３　楕円

　　

の上に点P(acosθ,bsinθ)がある。１つの頂点をA(a,0)、中心をOとし、２つの線分OA、OPと弧APとによって囲まれる図形の面積を求めよ。ただし、0<θ<π/2とする。

【解】

弧AP上の点の座標を

　　

とする。

求める面積Sは

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

定積分の応用 面積２

定積分の応用　面積２

問題１　次の図形の面積を求めよ。

（１）　曲線のx軸より下の部分とx軸とで囲まれた図形

（２）　0≦x≦2πの範囲で、２曲線y=sinxとy=sin2xとで囲まれた部分

【解】

（１）　y=cosx(1+sinx)とx軸との交点のx座標はπ/2と3π/2。

よって、求める面積Sは

　　

（２）　y=sinxとy=sin2xの交点のx座標は

　　

0≦x≦2πで、sinx=0になるのは、x=0、π、2π、cosx=1/2になるのはx=π/3、5π/3。
そして、この図形は点(π,0)に関して対称。

したがって、求める面積は

　　

（解答終了）

問題２　次の図形の面積を求めよ。

（１）　曲線y=logxとx軸、y軸および直線y=1で囲まれた部分。

（２）　曲線と直線y=xとで囲まれた部分。

【解】

（１）　y=logxだから、。

よって、求める面積Sは

　　

（別解）

求める面積は、□OABCから斜線部（x軸とy=logx、x=eで囲まれた部分）の面積を引いたものに等しいから

　　

（２）　曲線と直線y=xとの交点のx座標は

　　

したがって、面積Sは

　　

ここで、
　　

よって、

　　

（解答終了）

問題３　次の図形の面積を求めよ。

（１）　曲線と、点(3、√2)におけるこの曲線の接線およびx軸とで囲まれた部分

（２）　曲線y=logxと、この曲線の原点を通る接線およびx軸とで囲まれた部分

【解】

（１）　とすると

　　

したがって、接点P(3,√2)における接線の方程式は

　　

この接線とx軸との交点をAとすると、点Aのx座標は−1。

接点Pからx軸におろした垂線の足をBとすると、この図形の面積Sは

　　

（２）　接点Pの座標を(t,logt)とすると、接線の方程式は

　　

これが原点を通るので

　　

したがって、接線の方程式はy=x/e。

　　

よって、求める面積は

　　

（解答終了）

この問題３の（２）は、（１）同様に

　　

と求めることもできる。

問題４　y=ax²のグラフがy=logxのグラフと接するように定数aの値を定めよ。また、そのとき、これらのグラフとx軸とで囲まれる図形の面積を求めよ。

【解】

y=f(x)=ax²とy=g(x)=logxとの接点のx座標をtとすると、f(t)=g(t)、f'(t)=g'(t)。

　　

②よりat²=1/2。これを①に代入すると

　　

よって、

　　

したがって、面積Sは
　　

（解答終わり）

タグ：微分積分